9.5 微分几何初步

注：以下仅考虑三维空间．

曲线的描述

光滑曲线

曲线 $Γ$ 有参数方程： $\vec{r} = \vec{r} (t) = {x_{i} = x_{i} (t)}, t \in [a, b]$ ，满足条件：

$x_{i}$ 连续可导于 $[α, β]$ ；
$x_{i}$ 不全为 $0$ ．

则称曲线 $Γ$ 为光滑曲线．

切向量

几何定义

$P_{0}$ 位于曲线上，取另一点 $P$ 连成割线， $P \to P_{0}$ 时割线的极限位置即为切线，切线的方向上的向量就是切向量．

导数定义

设原点到 $Γ$ 上一点的径矢为 $\vec{r} = (x_{1} (t), x_{2} (t), \dots, x_{n} (t))$ ，则切向量为 ${\vec{r}}^{'} = (x_{1}^{'} (t), x_{2}^{'} (t), \dots, x_{n}^{'} (t))$

弧长

弧长公式

对 $Γ (α)$ 到 $Γ (β)$ 上的一段弧，其弧长为 $s (Γ) = \int_{α}^{β} ∥ {\vec{r}}^{'} (t) ∥ d t$ ．

弧长的性质

考虑弧长函数 $s (t) = \int_{a}^{t} ∥ {\vec{r}}^{'} (t) ∥ d t$ ， $a$ 为曲线起点对应的参数，则

弧长随参数递增；
弧长函数有反函数．

弧长参数

由弧长的性质，故弧长与参数等价，为方便，直接将弧长作为参数．向量参数方程的弧长式记作 $\vec{r} = \vec{r} (s)$ ．

弧长参数下的切向量性质

$∥ r^{'} (s) ∥ = 1$ .．

注：微分几何的技巧：想微分几次就微分几次．

曲率

一种用切向量变化速度描述弯曲程度变化程度的量．

极限定义

取弧长参数， $s$ 从 $s_{0} \to s_{1}$ 时， $r^{'} (s_{0}) \to r^{'} (s_{1})$ ，转过的夹角为 $Δ θ$ ，记

k (s) \overset{若 极 限 存 在}{=} lim_{s_{1} \to s_{0}} | \frac{Δ θ}{s_{1} - s_{0}} |

为弧长参数下的曲率函数．

注：直线曲率恒为0．

定理：单位向量函数的旋转角一阶导的关系（好像没啥用）

若 $\vec{r} = \vec{r} (t)$ 为弧长参数光滑曲线，且其上每一点处有一个单位向量 $\vec{a} (s)$ ，若 $\vec{a} (s + Δ s)$ 与 $\vec{a}$ 之间的夹角记作 $Δ ϕ$ ，则

∥ {\vec{a}}^{'} (s) ∥ \overset{若 可 导}{=} lim_{Δ s \to 0} | \frac{Δ ϕ}{Δ s} | .

证明：余弦定理．

定理：弧长参数下曲率公式（重要！）

设 $\vec{r} = \vec{r} (s)$ 为弧长参数光滑曲线，则 $k (s) = ∥ r^{″} (s) ∥$ ．

证明：在上一定理中代入 $\vec{a} (s) = {\vec{r}}^{'} (s)$ ．

定理：一般参数下的曲率公式（重要！）

若 $\vec{r} = \vec{r} (t)$ 为一般参数光滑曲线，则

k (t) = \frac{∥ {\vec{r}}^{'} (t) \times {\vec{r}}^{″} (t) ∥}{∥ r^{'} (t) ∥^{3}} .

证明：用 $\frac{d \vec{r}}{d s} = \frac{d \vec{r}}{d s} \frac{d s}{d t}$ 转换，用 $\frac{d r}{d s} ⊥ \frac{d^{2} r}{d s^{2}}$ ，通过叉乘一个 ${\vec{r}}^{″} (t)$ 来消去．

曲面的描述

曲面的表示方式

曲面的显式表示（函数表示）

z = f (x, y) ((x, y) \in D \subset R^{2})

曲面的隐式表示

F (x, y, z) = 0

曲面的参数表示

\vec{r} = \vec{r} (u, v) = {x_{i} = x_{i} (u, v)}

例： ${x = R \cos θ \cos φ, y = R \cos θ \sin φ, z = R \sin θ}$ ：为球面的参数表示．

曲面的切平面方程

隐式表示

设曲面的隐式表示为 $F (x, y, z) = 0$ ，则曲面过 $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 的切平面方程为

J F (x_{0}, y_{0}, z_{0}) \cdot (x - x_{0}, y - y_{0}, z - z_{0}) = 0

写成方程形式为：

\frac{\partial F (x_{0}, y_{0}, z_{0})}{\partial x} (x - x_{0}) + \frac{\partial F (x_{0}, y_{0}, z_{0})}{\partial y} (y - y_{0}) + \frac{\partial F (x_{0}, y_{0}, z_{0})}{\partial z} (z - z_{0}) = 0

证明：对曲面上任意过该点曲线，其在该点处的切向量均与 $J F (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 垂直．
$J F (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 为曲面在该点处切平面的法向量．

显式表示

变为隐式表示 $F (x, y, z) = z - f (x, y)$ 讨论．求出的法向量中有 $z = 1$ 和 $- 1$ 者，前者称为上法向量，后者称为下法向量．

参数表示

设参数表示为 $\vec{r} = \vec{r} (u, v)$ ，则 $(u_{0}, v_{0})$ 处一个法向量为

\frac{\partial \vec{r} (u_{0}, v_{0})}{\partial u} \times \frac{\partial \vec{r} (u_{0}, v_{0})}{\partial v}

用Jacobi行列式记作

(\frac{\partial (y, z)}{\partial (u, v)}, \frac{\partial (z, x)}{\partial (u, v)}, \frac{\partial (x, y)}{\partial (u, v)})

切面方程为

(\frac{\partial (y, z)}{\partial (u, v)}, \frac{\partial (z, x)}{\partial (u, v)}, \frac{\partial (x, y)}{\partial (u, v)}) \cdot (x - x (u_{0}, v_{0}), y - y (u_{0}, v_{0}), z - z (u_{0}, v_{0})) = 0

曲面的第一基本量

记 ${\vec{r}}_{u}^{'} (u, v) = \frac{\partial \vec{r} (u, v)}{\partial u}$ ， ${\vec{r}}_{v}^{'} (u, v) = \frac{\partial \vec{r} (u, v)}{\partial v}$ ，则记

E = {\vec{r}}_{u}^{'} \cdot {\vec{r}}_{u}^{'}, F = {\vec{r}}_{u}^{'} \cdot {\vec{r}}_{v}^{'}, G = {\vec{r}}_{v}^{'} \cdot {\vec{r}}_{v}^{'}

称为曲面的第一基本量．

注： $E, F, G, {\vec{r}}_{u}, {\vec{r}}_{v}$ 均为某点 $(u, v)$ 处的函数！！！

基于曲面第一基本量的计算

某点处的单位法向量

\vec{n} = \frac{1}{\sqrt{E G - F^{2}}} (\frac{\partial (y, z)}{\partial (u, v)}, \frac{\partial (z, x)}{\partial (u, v)}, \frac{\partial (x, y)}{\partial (u, v)})

法向量长度 $∥ {\vec{r}}_{u} \times {\vec{r}}_{v} ∥ = \sqrt{E G - F^{2}}$ ．证明是一个很好的几何学基础例题．这一值与选取参数无关．
一点处若 ${\vec{r}}_{u}^{'} \times {\vec{r}}_{v}^{'} \neq 0$ ，则称其为正则点．否则称为奇点．
若每个点都是正则点，称曲面为正则曲面．

曲面上的弧长公式

设曲面 $\vec{r} = \vec{r} (u, v)$ 上有参数曲线 $u = u (t), v = v (t) (t \in [t_{1}, t_{2}])$ ，则弧长公式为

s = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \sqrt{E u^{' 2} + 2 F u^{'} v^{'} + G v^{' 2}} d t .

建议把例题都做一遍．