9. 根系公理

附注

从本章起，我们在固定的欧氏空间 $E$ 上考虑问题：

$E$ 是 $R$ 上的一个有限维线性空间；
$(\cdot, \cdot)$ 是 $E \times E \to R$ 的一个正定对称双线性型．

欧氏空间中的反射变换

从几何上来说， $E$ 上的反射是一种保持某超平面（hyperplane）（余维数为1的子空间）逐点不变的可逆线性变换，其将任意垂直于该超平面的向量打到其逆．显然任意反射都是正交变换．

每个非零向量 $α$ 都能决定一个反射 $σ_{α}$ ，其对应的反射平面为

P_{α} := {β \in E : (β, α) = 0} .

显然，与 $α$ 正比的非零向量可产生同样的反射变换．对由非零向量决定的反射 $σ_{α}$ ，很容易写出其公式：

σ_{α} (β) = β - \frac{2 (β, α)}{(α, α)} α .

直接代入计算可得 $(σ_{α} (β), σ_{α} (γ)) = (β, γ)$ ．因此，反射是正交变换．

这里的系数 $\frac{2 (β, α)}{(α, α)}$ 经常出现，我们引入一个记号：

记号：

⟨ β, α ⟩

$⟨ β, α ⟩ = \frac{2 (β, α)}{(α, α)} .$

很容易注意到以下事实：

公式：第一位线性性

$⟨ β, α ⟩$ 关于 $β$ 线性．

后面将用到一个有用的引理，我们在此记录．

引理：生成集诱导的反射变换

设有限集 $Φ$ 生成 $E$ ，并假设对任意的 $α \in Φ$ ，其诱导的反射变换 $σ_{α}$ 都保持 $Φ$ 不变．如果 $σ \in G L (E)$ 保持 $Φ$ 不变，逐点固定 $E$ 的一个超平面 $P$ ，且将某个 $α \in Φ$ 送到其逆，则 $σ = σ_{α}$ ， $P = P_{α}$ ．

证明： 令 $τ = σ σ_{α}$ ，只需证明 $τ = id$ ．首先 $τ (Φ) = Φ$ ， $τ (α) = α$ ，故 $τ$ 在子空间 $R α$ 及商空间 $E / R α$ 上的作用为恒等变换．因此 $τ$ 的各特征值为 $1$ ，在其Jordan标准型对应的一组基下 $τ$ 为对角元全为 $1$ 的上三角阵，其最小多项式整除 $(t - 1)^{l}$ ， $l = \dim E$ ．

另一方面，由于 $Φ$ 有限，故对任意 $β \in Φ$ 都存在 $k \in N$ 使 $τ^{k} (β) = β$ ．所有这样的 $k$ 之积 $K$ 满足 $τ^{K} (β) = β$ ， $\forall β \in Φ$ ，这导致 $τ$ 的最小多项式整除 $t^{k} - 1$ ．因此

d_{τ} (t) ∣ gcd (t^{k} - 1, (t - 1)^{l}) = t - 1.

故 $τ = id$ . $◻$

根系

根系与 Weyl 群

定义：欧氏空间的根系

称 $E$ 的一个子集 $Φ$ 为其根系（root system），若其满足：

（元素性质） $Φ$ 为 $E$ 的有限生成集，且不含 $0$ ；
（归一性）若 $α \in E$ ， $k α \in Φ$ ，则 $k = \pm 1$ ；
（反射保持性）若 $α \in Φ$ ，则 $α$ 诱导的反射 $σ_{α}$ 保持 $Φ$ ；
（尖括号整数）若 $α, β \in Φ$ ，则 $⟨ β, α ⟩ \in Z$ ．

附注

其上的定义中，有些公理是有重复的；例如，第2条与第3条共同给出 $Φ = - Φ$ ．有些文献第2条被忽略，并将我们这里所称的根系为约化根系（reduced root system）（参见练习9）．
注意：第4条中，若把原内积换为数字为原内积倍数的新内积，则这一数字 $⟨ β, α ⟩$ 仍是保持的，因为其正比于两个内积之比．

定义：Weyl 群

设 $Φ$ 是 $E$ 的一个根系， $W < G L (E)$ 为全体 $σ_{α} (α \in Φ)$ 生成的子群，则称 $W$ 为 $Φ$ 的 Weyl 群．

Weyl 群的本质上是 $Φ$ 的一类很重要的的置换群．

性质：Weyl 群是相应根系的一个置换群

设 $W$ 为根系 $Φ$ 的 Weyl 群，则 $W < S_{Φ}$ ；特别地， $W$ 有限．

证明： 由根系的第3条公理直接得到． $◻$

以下的引理给出 $E$ 的某个自同构如何共轭作用于 $W$ ．

引理：

E

保持

Φ

的自同构对

W

的共轭作用

设 $Φ$ 为 $E$ 的根系，Weyl 群为 $W$ ，若 $σ \in G L (E)$ 保持 $Φ$ ，则

σ σ_{α} σ^{- 1} = σ_{σ (α)}, \forall α \in Φ .

同时，整数 $⟨ β, α ⟩$ 被保持： $⟨ β, α ⟩ = ⟨ σ (β), σ (α) ⟩$ ， $\forall α, β \in Φ$ ．

证明： 由于 $Φ \subset E$ 有限， $σ, σ_{α}$ 均保持 $Φ$ ，因此 $σ σ_{α} σ^{- 1}$ 也保持 $Φ$ 不变．另一方面，由于

\begin{matrix} (⋆) & σ σ_{α} σ^{- 1} (σ (β)) = σ σ_{α} (β) = σ (β - ⟨ β, α ⟩ α) = σ (β) - ⟨ β, α ⟩ σ (α), \end{matrix}

因此 $σ σ_{α} σ^{- 1}$ 保持超平面 $σ (P_{α})$ ，将 $σ (α)$ 送到 $- σ (α)$ ，由先前的反射刻画引理即知 $σ σ_{α} σ^{- 1} = σ_{σ (α)}$ ．

另一方面，注意到

σ_{σ (α)} (σ (β)) = σ (β) - ⟨ σ (β), σ (α) ⟩ σ (α),

对比 $(⋆)$ 式即得整数 $⟨ β, α ⟩$ 被保持． $◻$

根系之间的同构

定义：根系之间的同构

称 $(Φ, E)$ 与 $(Φ^{'}, E^{'})$ 同构，若存在一个线性空间同构（不一定是等距同构） $φ : E \to E$ ，满足：

将 $Φ$ 一一映为 $Φ^{'}$ ；
保持整数： $⟨ φ (β), φ (α) ⟩ = ⟨ β, α ⟩$ ．

性质：根系同构诱导 Weyl 群的内自同构

若 $φ : Φ \to Φ^{'}$ 是一个同构，则 $σ_{φ (α)} (φ (β)) = φ (σ_{α} (β))$ ， $\forall α, β \in Φ$ ；由此诱导 Weyl 群的内自同构 $σ \mapsto φ \circ σ \circ φ^{- 1}$ ．
特别地，由 $φ σ φ^{- 1} \in W$ ，故 $W ⊲ Aut (Φ)$ 。

证明： 这是因为

\begin{aligned} (定义) & σ_{φ (α)} (φ (β)) & = φ (β) - ⟨ φ (β), φ (α) ⟩ φ (α) \\ (保持整数) & = φ (β) - ⟨ β, α ⟩ φ (α) \\ (根系同构是线性空间同构) & = φ (β - ⟨ β, α ⟩ α) \\ (定义) & = φ (σ_{α} (β)) . \end{aligned}

另一方面，对任意的 $α$ 有

φ \circ σ_{α} \circ φ^{- 1} (φ (β)) = φ (σ_{α} (β))

即证得 $σ_{φ (α)}$ 确实通过 $φ$ 与 $σ_{α}$ 共轭． $◻$

附注：

Aut (Φ)

、“

Gal (E / Φ)

” 与

Aut (W)

的关系

上面的引理指出， $E$ 保持 $Φ$ 的自同构与 $Φ$ 的自同构是同一回事；特别地， $W$ 可视作 $Aut (Φ)$ 的一个正规子群．

同构的例子

设 $σ$ 为保持 $Φ$ 的反射，则

φ_{σ} : Φ \to Φ, α \mapsto σ (α)

是一个同构：上面的引理给出在该同构下 $Φ$ 被映为 $Φ$ ，且整数 $⟨ β, α ⟩$ 被保持，因此是一个同构．不仅如此，该同构还将 $α$ 在 Weyl 群中的对应反射 $σ_{α}$ 映到它关于 $σ$ 的共轭元．

对偶根

定义：对偶根（dual root）

设 $Φ$ 为根系统，并记

α^{\lor} = \frac{2}{(α, α)} α, Φ^{\lor} = {α^{\lor} : α \in Φ}

则称 $α^{\lor}$ 为 $α$ 的对偶根， $Φ^{\lor}$ 是 $Φ$ 的对偶根系（dual root system）．

注意需要验证 $Φ^{\lor}$ 是根系：

验证： 元素特性． $Φ^{\lor}$ 是有限集、不含零、张成 $E$ 显然．

归一性．现设 $α^{\lor} \in Φ^{\lor}$ 且 $c α^{\lor} \in Φ^{\lor}$ ，则存在 $β \in Φ$ 使得 $c α^{\lor} = β^{\lor}$ ，代入定义得

\frac{2 c α}{(α, α)} = \frac{2 β}{(β, β)} \Rightarrow β = c \frac{(β, β)}{(α, α)} α

则 $β ∥ α$ ，从而 $β = \pm α$ ，代入定义式得 $c α^{\lor} = \pm α^{\lor}$ ， $c = \pm 1$ ．

再说明反射保持性及尖括号整数．事实上，代入定义可得

σ_{α^{\lor}} (β^{\lor}) = (σ_{α} (β))^{\lor}, ⟨ β^{\lor}, α^{\lor} ⟩ = ⟨ α, β ⟩^{\lor} .

综上， $Φ^{\lor}$ 是根系． $◻$

在尖括号整数上，我们显然有：

公式：尖括号整数化为对偶根的内积

设 $λ \in E$ ，则

⟨ λ, α ⟩ = (λ, α^{\lor})

某种层面上，这给出了让尖括号整数右半有某种“被扭曲的线性性”的方法。

定理：对偶根系的 Weyl 群典范同构于原根系的 Weyl 群

设 $Φ^{\lor}$ 的 Weyl 群为 $W^{\lor}$ ，则存在一个典范同构

φ : W^{\lor} ≅ W, σ_{α^{\lor}} (\cdot^{\lor}) \mapsto (σ_{α} (\cdot))^{\lor} .

附注

研究对偶根系的重要意义是突破 $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ 只对左参数线性的限制：通过转到对偶根上研究 $⟨ β^{\lor}, α^{\lor} ⟩$ ，就可以考虑右参数线性的问题。这在第13章权理论中有应用。

例子：李代数根空间分解表示中对偶根的计算例

考虑第8章中提出的根空间分解的例子：对根 $α$ ，我们定义其对应的 $t_{α}$ 满足

α (h) = κ (t_{α}, h), \forall α \in Φ .

则

α^{\lor} (h) = \frac{2 α (h)}{(α, α)} = \frac{2}{(α, α)} κ (t_{α}, h) = κ (\frac{2 t_{α}}{κ (t_{α}, t_{α})}, h) = κ (h_{α}, h) .

这说明 $t_{α^{\lor}} = h_{α}$ ．

根对

两个不成比例的根的关系

根系定义中，对尖括号整性的要求让根之间的“夹角”要求变得很高．回忆两个向量间的夹角为

\cos θ = \frac{(u, v)}{∥ u ∥ ∥ v ∥},

代入到 $⟨ β, α ⟩$ 的表达式，得到

⟨ β, α ⟩ = \frac{2 ∥ β ∥}{∥ α ∥} \cos θ .

但同时也有

⟨ α, β ⟩ = \frac{2 ∥ α ∥}{∥ β ∥} \cos θ .

二式相乘得

⟨ β, α ⟩ ⟨ α, β ⟩ = 4 \cos^{2} θ .

右式在 $[0, 4]$ 之间，左式为整数之积，我们因此得到 $\cos θ$ 的信息．此外，由于右边为正，我们立刻得到 $⟨ β, α ⟩$ 与 $⟨ α, β ⟩$ 有共同的符号．如果我们强行规定 $β \neq \pm α$ 且 $∥ β ∥ \geq ∥ α ∥$ ，立刻得到下面的表格：

判别法：非共线根对的夹角与长度

设 $α, β$ 非共线， $∥ β ∥ \geq ∥ α ∥$ ，则 $⟨ β, α ⟩$ ， $⟨ α, β ⟩$ ， $θ$ ， $∥ β ∥^{2} / ∥ α ∥^{2}$ 的信息如下表所示：

$⟨ α, β ⟩$	$⟨ β, α ⟩$	$θ$	$\| β \|^{2} / \| α \|^{2}$
0	0	$π / 2$	-
1	1	$π / 3$	1
-1	-1	$2 π / 3$	1
1	2	$π / 4$	2
-1	-2	$3 π / 4$	2
1	3	$π / 6$	3
-1	-3	$5 π / 6$	3

特别地，

$⟨ α, β ⟩, ⟨ β, α ⟩$ 中必有一个为 $\pm 1$ : 且在 $∥ β | \geq ∥ α ∥$ 的情型下， $⟨ α, β ⟩$ 必为 $\pm 1$ ．

二者必为同正或同负．

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\draw[black,->] (0,0) -- (0,2) node[above] {$\alpha$};
\draw[blue,->] (0,0) -- (8,0) node[right] {$\beta,\pi/2$};
\draw[brown,->] (0,0) -- (30:2) node[above right] {$\beta,\pi/3$};
\draw[brown,->] (0,0) -- (-30:2) node[below right] {$\beta,2\pi/3$};
\draw[red,->] (0,0) -- (45:2.828) node[above right] {$\beta,\pi/4$};
\draw[red,->] (0,0) -- (-45:2.828) node[below right] {$\beta,3\pi/4$};
\draw[purple,->] (0,0) -- (60:3.464) node[above right] {$\beta,\pi/6$};
\draw[purple,->] (0,0) -- (-60:3.464) node[below right] {$\beta,5\pi/6$};
\draw[dashed] (60:3.464) -- (-60:3.464);
\draw[dashed] (45:2.828) -- (-45:2.828);
\end{tikzpicture}
\end{document}

这一定理是一个非常有用的判别根的标准．

引理：内积与根的加减法

设 $α, β$ 是非共线根，则

若 $(α, β) > 0$ ，则 $α - β$ 为根；
若 $(α, β) < 0$ ，则 $α + β$ 为根．

证明： 只需证第一条，第二条由对第一条中 $β$ 替代为 $- β$ 得到．

下证第一条．由于 $(α, β) > 0$ 当且仅当 $⟨ α, β ⟩ > 0$ （记号定义），上面的判别法给出 $⟨ α, β ⟩$ 与 $⟨ β, α ⟩$ 中必有一个为 $1$ ．若 $⟨ α, β ⟩ = 1$ ，则由反射保持性得

α - β = σ_{β} (α) \in Φ .

证毕． $◻$

根串（root string）

作为一个示例，我们来考虑根串相关的事情．

根串（root string）

设 $α, β$ 为不成比例的根，则形如

β + i α, i \in Z

的根放在一起称为一个过 $β$ 的 $α -$ 串（ $α -$ string through $β$ ）．

上面的引理给出：如果两个根既不成比例也不正交，那么其必然可以形成一个根串．

之所以称为根串，是因为它真的排成一串．

定理：根串是不断的（unbroken）

设 $α, β$ 为不成比例的根，设 $r, q$ 为使 $β - r α, β + q α$ 为根的最大正整数．则

β - r α, β - (r - 1) α, \dots, β - α, β, β + α, \dots, β + (q - 1) α, β + q α

均为根．

证明： 反设存在一个 $- r < i < q$ 使 $β - i α$ 不为根，则我们可以找到 $- r < p < s < q$ 使得

β + p α \in Φ, β + (p + 1) α \notin Φ;

β + s α \in Φ, β + (s - 1) α \notin Φ .

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\draw[->] (-5,0) -- (5,0);
\fill (-4,0) circle (.05);\fill (-3,0) circle (.05);
\fill (-2,0) circle (.05) node[below] {$p$};\fill (-1,0) circle (.05) node[above] {$p+1$};
\fill (0,0) circle (.05);\fill (1,0) circle (.05);
\fill (2,0) circle (.05);\fill (3,0) circle (.05) node[above] {$s-1$};
\fill (4,0) circle (.05) node[below] {$s$};
\fill[green] (-4,1) circle (.05);\fill[green] (-3,1) circle (.05);
\fill[green] (-2,1) circle (.05);\fill[red] (-1,-1) circle (.05);
\fill[red] (0,-1) circle (.05);\fill[red] (1,-1) circle (.05);
\fill[red] (2,-1) circle (.05);\fill[red] (3,-1) circle (.05);
\fill[green] (4,1) circle (.05);
\draw (-4,1) -- (-2,1) -- (-1,-1) -- (3,-1) -- (4,1);
\node at (-5,1) {Yes};
\node at (-5,-1) {No};
\end{tikzpicture}
\end{document}

反向应用上面的引理给出 $(α, β + p α) \geq 0$ ， $(α, β + s α) \leq 0$ ．但 $p < s$ ，二者作差得 $(α, α) \leq 0$ ，矛盾！ $◻$

定理：根串被反射翻转，且长度为尖括号整数

通过 $β$ 的 $α -$ 串被 $σ_{α}$ 翻转．确切地说，在上面的记号下，

σ_{α} (β + q α) = β - r α .

直接验证代数即可．特别地，由该定理得左侧为 $β - ⟨ β, α ⟩ α - q α$ ，因此

推论：根串的

r

与

q

之差是尖括号整数

$r - q = ⟨ β, α ⟩$ ．

再由 $⟨ β, α ⟩ \leq 4$ 得

推论：根串长度至多为 4 ．

例子

根系的秩

定义：根系的秩（rank）

称 $l = \dim E$ 为根系的秩．

结合根系的定义，可以给出一些例子：

例子

秩为 1

只有一种例子 $A_{1}$ ．

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\draw[->] (0,0) -- (3,0) node[below] {$\alpha$};
\draw[->] (0,0) -- (-3,0) node[below] {$-\alpha$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

秩为2

有 $A_{1} \times A_{1}$ 、 $A_{2}$ 、 $B_{2}$ 、 $G_{2}$ 四种．

$A_{1} \times A_{1}$

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\draw[->] (0,0) -- (2,0) node[right] {$\beta$};
\draw[->] (0,0) -- (-2,0);
\draw[->] (0,0) -- (0,2) node[above] {$\alpha$};
\draw[->] (0,0) -- (0,-2);
\end{tikzpicture}
\end{document}

$A_{2}$

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\draw[->] (0,0) -- (2,0) node[right] {$\alpha$};
\draw[->] (0,0) -- (60:2);
\draw[->] (0,0) -- (120:2) node[above left] {$\beta$};
\draw[->] (0,0) -- (-2,0);
\draw[->] (0,0) -- (240:2);
\draw[->] (0,0) -- (300:2);
\end{tikzpicture}
\end{document}

$B_{2}$

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\draw[->] (0,0) -- (2,0) node[right] {$\alpha$};
\draw[->] (0,0) -- (-2,0);
\draw[->] (0,0) -- (2,2);
\draw[->] (0,0) -- (-2,-2);
\draw[->] (0,0) -- (-2,2) node[above left] {$\beta$};
\draw[->] (0,0) -- (2,-2);
\draw[->] (0,0) -- (0,2);
\draw[->] (0,0) -- (0,-2);
\end{tikzpicture}
\end{document}

$G_{2}$

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\draw[->] (0,0) -- (2,0) node[right] {$\alpha$};
\draw[->] (0,0) -- (60:2);
\draw[->] (0,0) -- (120:2);
\draw[->] (0,0) -- (-2,0);
\draw[->] (0,0) -- (240:2);
\draw[->] (0,0) -- (300:2);
\begin{scope}[rotate=90,scale=1.732]
\draw[->] (0,0) -- (2,0);
\draw[->] (0,0) -- (60:2) node[above left] {$\beta$};
\draw[->] (0,0) -- (120:2);
\draw[->] (0,0) -- (-2,0);
\draw[->] (0,0) -- (240:2);
\draw[->] (0,0) -- (300:2);
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{document}

其 Weyl 群

$W_{A_{1}} ≅ C_{2}$ ， $W_{A_{1} \times A_{1}} ≅ C_{2} \oplus C_{2}$ ， $W_{A_{2}} ≅ D_{3}$ ， $W_{B_{2}} ≅ D_{4}$ ， $W_{G_{2}} ≅ D_{6}$ 。

欧氏空间中的反射变换

根系

根系与 Weyl 群

根系之间的同构

对偶根

根对

两个不成比例的根的关系

根串（root string）

例子

根系的秩

例子

秩为 1

秩为2

A1×A1

A2

B2

G2

其 Weyl 群

$A_{1} \times A_{1}$

$A_{2}$

$B_{2}$

$G_{2}$