6. 表示的完全可约性

注意

本节中，我们默认各表示均为有限维的。

我们今后将通过伴随表示来研究半单李代数。事实证明， $L$ 是由 ${sl}_{2} (F)$ 构建的，因此我们需要考虑 ${sl}_{2} (F)$ 的更多信息。这将在下一章讨论。在那之前，我们需要一些趁手的工具：Weyl 定理，关于任意半单李代数的表示。

李代数上的模

L-模

设 $L$ 为李代数。通过模的语言及等价的表示语言来表述常常很方便。和其它的代数理论类似，这种方法有一种自然的定义。

L -

模（L-module）

设 $V$ 是一个线性空间，其上定义一个作用 $L \times V \to V, (x, v) \mapsto x v$ ，满足如下条件：

$L -$ 线性性： $(a x + b y) v = a (x v) + b (y b)$ ；
$V -$ 线性性： $x (a v + b w) = a (x v) + b (x w)$ ；
李括号变为交换子： $[x, y] v = x y v - y x v$ 。

则称 $V$ 是一个 $L -$ 模（L-module）。

本书应当只讨论有限维的模。

例子：

L -

模

若 $ϕ : L \to gl (V)$ 是一个表示，则 $V$ 可视作一个 $L -$ 模，其上作用定义为

x v := ϕ (x) (v) .

事实上，给定一个 $L -$ 模，其都对应于一个表示 $ϕ : L \to gl (V)$ 。

附注

这事实上就是将李代数视作一个普通的非结合代数，并在其上定义模结构。

若 $L -$ 模内部有另一个模，称其为 $L -$ 子模。确切地说，

定义：

L -

子模

设 $V$ 为 $L -$ 模， $W < V$ 为子空间，且 $L$ 对 $W$ 的作用仍落在 $L$ 中，则称 $W$ 是一个 $L -$ 子模（L-submodule）。

事实上，我们有：

定理：

L -

子模是全体表示元素的不变子空间

设 $V$ 为 $L -$ 模， $W < V$ 为子空间，则 $W$ 为 $L -$ 子模当且仅当 $W$ 是 $L$ 在 $V$ 上表示的不变子空间。
特别地：若 $L$ 由 $x_{1}, \dots, x_{n}$ 生成，则 $W$ 为 $L -$ 子模当且仅当 $W$ 是 $x_{1}, \dots, x_{n}$ 在 $V$ 上表示的不变子空间。

证明： 必要性。 $L$ 对 $V$ 的作用诱导表示 $ρ : L \to gl (V)$ 。若 $W$ 为 $L -$ 子模，则对任意 $x \in L$ ， $v \in W$ ，都有 $ρ (x) v \in W$ ，从而 $ρ (L)$ 中全体元素都以 $W$ 为一不变子空间。

充分性。 任取 $x \in L$ 都有 $ρ (x)$ 以 $W$ 为不变子空间，则 $x$ 对 $W$ 的作用仍落在 $W$ 中：

x \cdot W \subset W .

因此作用对 $W$ 封闭。这就说明 $W$ 是子模。 $◻$

L-模的同态

定义：L-模的同态

若从 $L -$ 模 $V$ 及 $L -$ 模 $W$ 的线性变换 $ϕ$ 满足

ϕ (x v) = x ϕ (v), \forall x \in L

则称 $ϕ$ 是一个 $L -$ 模同态（homomorphism）。

其核、像的定义是正常定义。显然其核是一个 $L -$ 子模（同理有三大同态定理）。当 $ϕ$ 是线性空间之间的同构时，我们称 $ϕ$ 是一个 $L -$ 模同构（isomorphism）。当是时也，我们称两个模具备等价表示（afford equivalent representations）。

对任意两个 $L -$ 模，可以定义其直和：

模的直和

若 $V, W$ 为 $L -$ 模，称线性空间 $V \oplus W$ 为其直和，若其上数乘结构定义为

x (v, w) = (x v, x w) .

L-模的不可约性与完全可约性

不可约性（irreducibility）

称 $L -$ 模不可约（irredecible），若其有且仅有两个 $L -$ 子模（自身及 0）。

附注

我们不认为零模不可约！！！就像我们不认为 1 是素数一样。
然而，我们认为 $L$ 作用于一个一维空间上产生的平凡模是不可约的。

完全可约性（complete reducibility）

称 $L -$ 模完全可约（completely reducible），若 $V$ 是一系列不可约子模的直和。

L-模的完全可约性有一个等价的性质。

定理：

L -

模完全可约性的等价定义

设 $V$ 为 $L -$ 模，则 $V$ 完全可约当且仅当其各 $L -$ 子模在直和意义下有补模，即对任意 $W \leq V$ ，都存在 $W^{'} \leq V$ 有 $$V＝W\oplus W'.$$

证明： 必要性显然，只证充分性。对 $\dim V$ 归纳，若 $V$ 不可约，已证；若 $V$ 可约，则其有子模，取其任一子模 $W$ ，则 $\dim W < \dim V$ ；依条件其有补模 $W^{'}$ ，则 $\dim W^{'} < \dim V$ 。依归纳假设， $W$ 、 $W^{'}$ 可表示为一系列不可约子模的直和，故 $V = W \oplus W^{'}$ 也可表示为一系列不可约子模的直和。 $◻$

附注

以上的这些标准说法在 $\dim V = \infty$ 时其实也是合理的。当然，术语 “不可约” 及 “完全可约” 同样对 $L$ 的表示可用。

Schur 引理

给定一个表示 $ϕ : L \to gl (V)$ ，由 $ϕ (L)$ 在 $End V$ 中生成的含幺结合代数会保持和 $L$ 相同的不变子空间结构，因此像 Jordan-Holder 定理这样在模论中常见定理同样适用于 L-模。特别地，如下模上的 Schur 引理很有用：

模上的 Schur 引理

设 $ϕ : L \to gl (V)$ 是不可约表示，则 $V$ 上与所有 $ϕ (x)$ （ $x \in L$ ）可换的同态是标量。

证明： 设 $f \in End V$ 满足 $[f, φ (x)] = 0$ ， $\forall x \in L$ ．设 $λ$ 为 $f$ 的一个特征值，则 $g = f - λ I_{V}$ 是 $V$ 上的一个核非零的同态，且其与 $φ (x)$ 也可换．我们只需证明 $\ker g = V$ ．

若 $v \in \ker g$ ， $x \in L$ ，由于 $g$ 和全体 $φ (x)$ 可换，因此

g (x \cdot v) = g \circ φ (x) (v) = φ (x) \circ g (v) = 0

故 $x \cdot v \in \ker g$ ．但由 $V$ 不可约且 $\ker g$ 是 $V$ 的一个 $L -$ 子模，故 $\ker g = V$ ． $◻$

一个例子是， $L$ 是自身上的 L-模（考虑伴随表示），其 L-子模是理想，由此知单李代数自身是一个不可约 L-模，而半单李代数是完全可约 L-模。

模的构造

下面我们来提一些从已知模构造出新模的标准方法。

对偶空间

若 $V$ 是一个 $L -$ 模，则其对偶空间 $V^{*}$ 可变为一个 $L -$ 模（称为对偶模（dual module） 或 逆行模（contragredient module）），通过定义以下的数乘：

对偶模（dual module）

设 $V$ 是一个 $L -$ 模，则定义其对偶空间为一个对偶模（dual module），若其上数乘定义为：

\forall f \in V^{*}, (x \cdot f) (v) = - f (x \cdot v), \forall v \in V .

二线性性显然．对李括号打到交换子的要求，由

\begin{aligned} ([x, y] \cdot f) (v) & = - f ([x, y] \cdot v) \\ = - f (x y v - y x v) \\ = - f (x y v) + f (y x v) \\ = (x f) (y v) - (y f) (x v) \\ = - (y x f) (v) + (x y f) (v) \\ = ((x y - y x) f) (v) . \end{aligned}

故成立．

张量积

若 $V, W$ 为 $L -$ 模，则其作为线性空间的张量积 $V \otimes W$ 的基是 $V, W$ 的基的张量积： $v_{i} \otimes w_{j}$ ．读者可能知道如何在群 $G$ 的两个 $G -$ 模的张量积上定义模结构：

g \cdot (v \otimes w) = g \cdot v \otimes g \cdot w .

对李代数，也可以类似定义，方法是对上面的式子取“微分”：

定义：张量积的模

设 $V, W$ 为 $L -$ 模，则 $V \otimes W$ 为 $L -$ 模，若其上数乘定义为

x \cdot (v \otimes w) = (x \cdot v) \otimes w + v \otimes (x \cdot w) .

二线性性是显然的．对李括号打到交换子的要求，如下：

\begin{aligned} [x, y] \cdot (v \otimes w) & = ([x, y] \cdot v) \otimes w + v \otimes ([x, y] \cdot w) \\ = (x y v - y x v) \otimes w + v \otimes (x y w - y x w) \\ = (x y v \otimes w + v \otimes x y w) - (y x v \otimes w + v \otimes y x w), \\ (x y - y x) \cdot (v \otimes w) & = (x y v \otimes w - y x v \otimes w) + (v \otimes x y w - v \otimes y x w) \\ = (x y v \otimes w + v \otimes x y w) - (y x v \otimes w + v \otimes y x w) . \end{aligned}

可以看出二者相等．

线性空间的线性同态

若 $V$ 是一个 $L -$ 模，则 $V^{*}$ 是一个 $L -$ 模，从而 $V^{*} \otimes V$ 是一个 $L -$ 模．另一方面，熟知下面的线性同态

f : V^{*} \otimes V \to End V, f \otimes v \mapsto (w \mapsto f (w) v)

是一个同构．我们借这一同构可以将 $End V$ 看一个 $L -$ 模．注意到

\begin{aligned} V & : x \cdot v \\ V^{*} & : x \cdot f (v) = - f (x \cdot v) \\ V^{*} \otimes V & : x \cdot (f \otimes v) = x \cdot f \otimes v + f \otimes x \cdot v \\ End V & : \forall f \in V^{*}, {\begin{aligned} x \cdot f (w) v & = (x \cdot f (w)) v + f (w) (x \cdot v) \\ = f (- x \cdot w) v + x \cdot (f (w) v) \\ = - f (x \cdot w) v + x \cdot (f (w) v) \end{aligned} \\ \overset{g (w) := f (w) v}{\Rightarrow} x \cdot g (w) = x \cdot g (w) - g (x \cdot w) . \end{aligned}

从而 $End V$ 上的 $L -$ 模结构定义为

定义：

End V

上的

L -

模结构

若 $V$ 为 $L -$ 模，则 $End V$ 为 $L -$ 模，其上模结构定义为

\forall f \in End V, (x \cdot f) (v) = x \cdot f (v) - f (x \cdot v) .

更一般地：注意到 $hom (V, W)$ 与 $V^{*} \otimes W$ 同构，可定义 $hom (V, W)$ 上的模结构：

定义：

hom (V, W)

上的

L -

模结构

若 $V, W$ 为 $L -$ 模，则 $hom (V, W)$ 为 $L -$ 模，其上模结构定义为

\forall f \in hom (V, W), (x \cdot f) (v) = x \cdot f (v) - f (x \cdot v) .

表示的 Casimir 元素

忠实表示

在上一节中，我们用 Cartan 准则证明了半单李代数有非退化 Killing form（看这里）．更一般地，设 $L$ 为半单李代数， $ϕ : L \to gl (V)$ 为一个忠实表示（faithful representation）：

定义：忠实表示（faithful representation）

称一个表示 $L \to gl (V)$ 为忠实表示，若其为双射．

定义：迹型（trace form）

设 $β : L \to gl (V)$ 是一个表示，则 $β (x, y) := tr (ϕ (x) ϕ (y))$ 称为一个迹型．

忠实表示的迹型与 Killing form 相似，有

性质：忠实表示的迹型是非退化对称结合双线性型

$β$ 是结合的： $β ([x, y], z) = β (x, [y, z])$ ；
- 因此其根 $S$ 为 $L$ 的一个理想；
$β$ 是非退化的：
- ：Cartan准则的推论说明 $S$ 可解，故含于 $L$ 的根且为 $0$ ．

事实上，Killing form 只是这种情形中 $ϕ = ad$ 的一种特殊情况．

半单李代数上非退化对称结合双线性型下的对偶基

定义：对偶基（dual basis）

对半单李代数 $L$ 及其上的非退化对称结合双线性型 $β$ ，设 $L$ 的一组基为 $x_{1}, \dots, x_{n}$ ，称一组基 $y_{1}, \dots, y_{n}$ 为 $β$ 下的对偶基，如果

β (x_{i}, y_{j}) = δ_{i j}, \forall i, j .

笔者注：对偶基的计算方法

取定一组基 $x_{1}, \dots, x_{n}$ ，若其对偶基为 $y_{1}, \dots, y_{n}$ ，不妨设 $y_{1}, \dots, y_{n}$ 在 $x_{1}, \dots, x_{n}$ 下的坐标为列向量 $Y_{1}, \dots, Y_{n}$ ．
由于 $β$ 为非退化对称结合双线性型，可设其在基 $x_{1}, \dots, x_{n}$ 下的矩阵为 $B$ ，则 $B$ 是可逆对称矩阵，有

β (u, v) = u^{T} B v .

对任意的 $i$ ，我们欲解方程组

β (x_{1}, y_{i}) = 0, \dots, β (x_{i - 1}, y_{i}) = 0, β (x_{i}, y_{i}) = 1, β (x_{i + 1}, y_{i}) = 0, \dots, β (x_{n}, y_{i}) = 0.

即

X_{1}^{T} B Y_{i} = \dots = X_{i - 1}^{T} B Y_{i} = X_{i + 1}^{T} B Y_{i} = \dots = X_{n}^{T} B Y_{i} = 0, X_{i}^{T} B Y_{i} = 1.

将所有 $x$ 依顺序从上到下排为一个方阵，则这个方阵正是单位阵 $I$ ，由此得到

B Y_{i} = (\begin{matrix} 0 \\ ⋮ \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{matrix}) \begin{matrix} \leftarrow i -th row \end{matrix} = X_{i} .

即 $y_{i} = B^{- 1} x_{i} .$
特别地，若 $β$ 为迹型，则 $B = (tr (x_{i} x_{j}))$ ．

对任意的一组基及其任一组对偶基，一个结构性质是：

性质：元素分别与基与对偶基的李括号

设 $x_{1}, \dots, x_{n}$ 为基， $y_{1}, \dots, y_{n}$ 为任一非退化对称结合双线性型下的对偶基， $x \in L$ ，记

[x, x_{i}] = \sum_{j} a_{i j} x_{j},, [x, y_{i}] = \sum_{j} b_{i j} x_{j} .

则 $a_{i k} = - b_{k i}$ ， $\forall k$ .

证明： 由 $β$ 的结合性，计算得：

\begin{aligned} a_{i k} & = \sum_{j} a_{i j} β (x_{j}, y_{k}) \\ = β ([x, x_{i}], y_{k}) \\ = β (- [x_{i}, x], y_{k}) \\ = β (x_{i}, - [x, y_{k}]) \\ = - \sum_{j} b_{k j} β (x_{i}, y_{j}) \\ = b_{k i} . \end{aligned}

注意 $β (x_{j}, y_{k}) = δ_{j k}$ ． $◻$

Casimir 元

最一般的 Casimir 元

最一般的 Casimir 元的定义为：

定义：李代数上表示及非退化对称结合双线性型的 Casimir 元

设 $L$ 为李代数， $ϕ$ 为任一表示， $β$ 为一非退化对称结合双线性型， $x_{1}, \dots, x_{n}$ 为一组基，其在 $β$ 下的对偶基为 $y_{1}, \dots, y_{n}$ ，则 $ϕ$ 在 $β$ 下的 Casimir 元定义为

c_{ϕ} (β) := \sum_{i = 1}^{n} ϕ (x_{i}) ϕ (y_{i}) .

直接验证可立得如下的性质：

命题：Casimir 元与李代数的像交换

对任意表示 $ϕ$ 及非退化对称结合双线性型 $β$ ， $c_{ϕ} (β)$ 与 $ϕ (L)$ 交换．

证明： 若 $ϕ : L \to gl (V)$ 是 $L$ 的任一个表示，记 $c_{ϕ} (β) = \sum_{i} ϕ (x_{i}) ϕ (y_{i}) \in End V$ ．对任意 $x \in L$ ，由

[x, y z] = [x, y] z + y [x, z]

及 $a_{i k} = - b_{k i}$ ，我们得到

\begin{aligned} [ϕ (x), c_{ϕ} (β)] & = \sum_{i} [ϕ (x), ϕ (x_{i})] ϕ (y_{i}) + \sum_{i} ϕ (x_{i}) [ϕ (x), ϕ (y_{i})] \\ = \sum_{i, j} a_{i j} ϕ (x_{j}) ϕ (y_{i}) + \sum_{i, j} b_{i j} ϕ (x_{i}) ϕ (y_{j}) \\ = 0 \end{aligned}

从而 $c_{ϕ} (β)$ 与 $ϕ (L)$ 交换． $◻$

命题：Casimir 元的迹

$tr (c_{φ} (β)) = \sum_{i = 1}^{n} tr (φ (x_{i}) φ (y_{i})) = \dim L .$

忠实表示的 Casimir 元

特别地，若 $φ$ 为半单李代数 $L$ 的忠实表示， $β$ 为 $φ$ 的迹型，则 $φ$ 的 Casimir 元定义为

忠实表示的 Casimir 元（Casimir Element）

设 $φ$ 为忠实表示， $x_{1}, \dots, x_{n}$ 为 $L$ 的一组基，其在迹型 $β (x, y) := tr (φ (x) φ (y))$ 下的对偶基为 $y_{1}, \dots, y_{n}$ ，则 $φ$ 的 Casimir 元为

c_{φ} := \sum_{i = 1}^{n} φ (x_{i}) φ (y_{i}) .

例子：计算

{sl}_{2} (F)

的对偶基与 Casimir 元

置忠实表示为嵌入． ${sl}_{2} (F)$ 的一组基为 $(x, h, y)$ ．计算其在这组基下的迹型矩阵为

B = (tr (x_{i} y_{i})) = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}), B^{- 1} = (\begin{matrix} 1 \\ \frac{1}{2} \\ 1 \end{matrix}) .

因此 $(x, h, y)$ 的对偶基为 $B^{- 1} (x, h, y) = (y, h / 2, x)$ ，Casimir 元为

c_{ϕ} = x y + \frac{h^{2}}{2} + y x = diag (\frac{3}{2}, \frac{3}{2}) .

${sl}_{2} (F)$ 的 Casimir 元是一个纯量阵，这是不是偶然的？事实上，若 $ϕ : L \to gl (V)$ 为不可约忠实表示，由于 Casimir 元 $c_{ϕ}$ 与 $ϕ (L)$ 交换， Schur 引理给出 $c_{ϕ}$ 是一个纯量阵．由于 $c_{ϕ}$ 的矩阵是 $\dim V \times \dim V$ 型矩阵，因此其为元素为 $\frac{\dim L}{\dim V}$ 的纯量阵．在 ${sl}_{2}$ 的情型，直接嵌入当然是不可约忠实表示，因此其 Casimir 元形如 $\frac{\dim L}{\dim V} = \frac{3}{2}$ .

非忠实表示的 Casimir 元

若 $ϕ$ 不是忠实表示，则 $\ker ϕ \neq 0$ ，Casimir 元相关的性质要作一些修改．

注意到 $\ker ϕ$ 是 $L$ 的一个理想，由于 $L$ 半单，因此 $L$ 与 $\ker ϕ$ 均是特定单理想的直和．记 $L = \ker ϕ \oplus L^{'}$ ，则 $L^{'}$ 为剩余单理想直和，且 $ϕ$ 限制在 $L^{'}$ 上为忠实表示，则定义 $L$ 上 $ϕ$ 的忠实表示为

定义：

L

上的 Casimir 元

$L$ 上 $ϕ$ 的 Casimir 元定义为 $L^{'}$ 的 Casimir 元．

显然其与 $ϕ (L) = ϕ (L^{'})$ 交换．

附注

通常来说，假设我们在处理的表示是忠实表示是比较方便的——这等价于研究 $L$ 的特定半单理想的表示．如果 $L$ 是单李代数，在其所有不可约模中，只有一维模会不是忠实的—— $L$ 在其上只有平凡作用．

Weyl 定理

引理：半单李代数的表示在特殊线性代数中

设 $ϕ : L \to gl (V)$ 是半单李代数 $L$ 的任一表示，则 $ϕ (L) \subset sl (V)$ ．
特别地， $L$ 在任一一维 $L -$ 模上的作用是平凡的．

证明： 注意 $L = [L, L]$ （5. Killing Form#半单李代数是单理想的直和），且 $sl (V) = [gl (V), gl (V)]$ ．在一维模上的作用诱导的表示位于 $sl (R) = 0$ 中． $◻$

Weyl 定理

$ϕ : L \to gl (V)$ 是半单李代数的有限维表示，则 $ϕ$ 是完全可约的．

证明： 先证特殊情况： 我们从特殊情况开始： $V$ 有余维数为 $1$ 的 $L -$ 子模 $W$ ．

我们首先说明命题对 $W$ 为不可约 $L -$ 模的情况成立，再通过对 $\dim W$ 归纳推广到更广泛的情况．

当 $W$ 不可约的时候： 不失一般性，设 $L$ 在 $V$ 上的作用是忠实的（诱导一个忠实表示）；否则设 $V$ 是半单李代数 $L / \ker φ$ 上的一个忠实模——即其上作用给出一个忠实表示．设 $c = c_{φ} \in φ (L)$ 是 $φ$ 的 Casimir 元，则 $c$ 与 $φ (L)$ 中的全体同态交换． $c$ 事实上是 $V$ 的一个 $L -$ 模同态，因为 $c (W) \subset W$ 且 $\ker c$ 是 $V$ 的一个 $L -$ 子模．

因为 $\dim (V / W) = 1$ ， $L$ 在 $V / W$ 上的作用是平凡的（即 $ϕ (L)$ 中的同态将 $V$ 打到 $W$ ）， $c \in φ (L)$ 同样也如此．因此 $c (V) \subset W$ ，从而 $tr c |_{V} = tr c |_{W}$ ．

另一方面，由 Schur 引理知， $c$ 在不可约 $L -$ 子模 $W$ 上的作用相当于纯量；且这一纯量肯定不为 0，否则 $tr c |_{W} = 0$ ，从而 $tr c |_{V} = 0$ ，这与 Casimir 元的迹的结论矛盾．因此 $\ker c$ 是与 $W$ 的交平凡的一维 $L -$ 子模，从而是 $W$ 的一个补．

当 $W$ 可约的时候： 对 $\dim W$ 归纳，将 $W$ 降维到可约的情况．

设命题对 $\dim W$ 较小的时候成立，则对当前的 $\dim W$ ，若 $W$ 不可约则已证；若可约，我们借助子模将其降维．

首先，令 $W^{'}$ 为 $W$ 的非零真子模，则 $W / W^{'}$ 是 $V / W^{'}$ 中余维数为 1 的 $L -$ 子模．由归纳假设， $V / W^{'}$ 中存在一个 1余维的 $L -$ 子模——记作 $\tilde{W} / W^{'}$ ——为 $W / W^{'}$ 的补，这里 $\tilde{W}$ 是 $V$ 中一个包含 $W^{'}$ 的 $L -$ 子模．

因此 $W^{'}$ 是 $\tilde{W}$ 中的一个余维数为 $1$ 的 $L -$ 子模， $\dim W^{'} < \dim W$ ．归纳假设给出存在一个 1 维的子模 $X$ ，其为 $W^{'}$ 的补： $\tilde{W} = W^{'} \oplus X$ ，故 $V = W + X$ ；又由 $\dim W + \dim X = \dim V$ 且 $\tilde{W} / W^{'} \cap W / W = 0$ ，得到 $W \cap X = 0$ ， $V = W \oplus X$ ．

综上，由数学归纳法，此时成立．

再证一般情况： 令 $V$ 是 $W$ 的非零子模，令 ${hom}_{F} (V, W)$ 是线性映射 $V \to W$ 空间，视作 $L -$ 子模（看这里）．令 $V$ 是 ${hom}_{F} (V, W)$ 中包含限制在 $W$ 上为纯量的的同态的子空间．

我们验证 $V$ 是一个 $L -$ 子模：如果 $f \in V$ ，设 $f |_{W} = a I_{W}$ ，则对任意 $x \in L, w \in W$ ，

(x \cdot f) (w) = x \cdot f (w) - f (x \cdot w) = a (x \cdot w) - a (x \cdot w) = 0.

因此 $(x \cdot f) |_{W} = 0$ ，从而 $x \cdot f$ 限制在 $W$ 上也为纯量，从而 $V$ 为子模．

令 $W$ 是 $V$ 中包含限制在 $W$ 上为 $0$ 的同态的子空间，则 $W$ 是 $L -$ 子模， $L$ 将 $V$ 映为 $W$ ．进一步， $V / W$ 维数为 $1$ ，因为 $f \in V$ 在模 $W$ 意义下被纯量 $f |_{W}$ 确定．假设 $V = W \oplus W^{'}$ ，定义 $g : V \to W$ 使 $g (W^{'}) = 0$ ， $g |_{W} = I |_{W}$ ，则

V = W \oplus F g .

由证明的第一段， $V$ 中有一维子模 $W^{'}$ ，是 $W$ 的补．令 $f : V \to W$ 使得 $W^{'} = F f$ ，则可通过乘上一个标量使 $f |_{W} = I |_{W}$ ．由于 $L$ 将 $f$ 映为 $0$ ，因此 $0 = (x \cdot f) (v) = x \cdot f (v) - f (x \cdot v)$ ，故 $f$ 是一个 $L -$ 模同态．故 $\ker f$ 是一个子模．因为 $f$ 将 $V$ 映为 $W$ 且在 $W$ 上作用平凡，我们得到 $V = W \oplus \ker f$ ，证毕！ $◻$

Jordan 分解的保存性

Weyl 定理当然是研究半单李代数表示最基本的定理知．我们在这里给出一些更直接的应用，来展示抽象 Jordan 分解对不同的线性表示都兼容．

定理：半单线性李代数抽象 Jordan 分解等同于 Jordan 分解

令 $L \subset gl (V)$ 是半单线性李代数，这里 $V$ 有限维；则 $L$ 包含 $gl (V)$ 中所有元素的半单及幂零部分．
特别地，抽象 Jordan 分解与 Jordan 分解同一．

推论：

设 $L$ 是半单李代数， $ϕ : L \to gl (V)$ 是有限维表示．若 $x = s + n$ 是抽象 Jordan 分解，则 $ϕ (x) = ϕ (s) + ϕ (n)$ 是通常 Jordan 分解．