3. 可解性和幂零性

可解性

通过 $L$ 的理想来研究 $L$ 的这一想法是自然的。本节我们通过发掘导出代数的形成来研究李代数。

导出列与可解性

我们先定义导出列的概念：

定义：导出列（derived series）

$L^{(0)} = L$ ， $L^{(n + 1)} = [L^{n}, L^{n}]$ 称为 $L$ 的一个导出列。

像群论中的定义一样，可解性定义为

可解性（solvability）

如果存在 $n$ 使 $L^{(n)} = 0$ ，则称 $L$ 可解（solvable）。

例子：可解与不可解的例子

Abel 代数显然可解，特别地， $L$ 的中心 $Z (L)$ 是可解的；
单李代数显然不可解，因为 $L = [L, L]$ ；
幂零李代数是可解的：因为 $L^{(i)} \subset L^{i}$ ．

例子：上三角代数

$t_{n} (F)$ 是可解的，因为

[t_{n} (F), t_{n} (F)] = n_{n} (F), [n_{n}, n_{n}] = (a_{i j})_{j - 1 \geq 2} =: L^{(2)}, [(L^{(2)}, L^{(2)})] = (a_{i j})_{j - i \geq 2^{2}}, \dots

可解理想

定义：可解理想

若 $I ⊲ L$ 为一个理想，且 $I$ 作为李子代数可解（注意理想是一个李子代数），则称 $I$ 是一个可解理想（solvable ideal）．

可解李代数与可解理想有如下的一些性质。

定理：可解李代数的性质

可解李代数的子代数与同态的像都是可解的。
如果理想 $I ⊲ L$ 可解且 $L / I$ 可解，则 $L$ 可解。
如果理想 $I, J$ 可解，则 $I + J$ 可解。

证明： 1) 若 $K < L$ ，则 $K^{(i)} < L^{(i)}$ 。若 $ϕ : L \to M$ 满，则 $ϕ (L^{(i)}) = M^{(i)}$ 。

不妨设 $(L / I)^{(n)} = 0$ ，考虑典范映射 $π : L \to L / I$ ，则 $π (L^{(n)}) = 0$ ，即 $L^{(n)} \subset I$ ，从而 $(L^{(n)})^{m} = L^{(n + m)} = 0$ 。
$I, J$ 可解，所以 $I / (I \cap J)$ 可解，再利用第二同态定理及 2)。

根（radical）：唯一的极大可解理想

设 $L$ 为一李代数，则其上存在可解理想；特别地，存在极大可解理想．

定义：极大可解理想

称 $I$ 为 $L$ 的一个极大可解理想，若

$I$ 可解；
不存在理想 $J \neq I, J \neq L$ ，使得 $I < J < L$ ．

我们证明，对有限维李代数而言，极大可解理想存在且唯一：

定理：极大可解理想的存在唯一性

设 $L$ 为一有限维李代数，则 $L$ 有唯一的极大可解理想．
设 $L$ 具有极大可解理想 $M$ ，则其极大可解理想唯一；特别地，对任一可解理想 $S$ ，有 $S ⊲ M$ ．

证明： 1. 先证存在性．全体可解理想构成的集合

Ω := {I ⊲ L : I^{(n)} = 0, \exists n}

首先是非空的，因为 $0 \in Ω$ ；其次，对于 $Ω$ 在包含关系下的一个全序子集 $Ω^{'} \subset Ω$ ，其中元素满足

\begin{matrix} (*) & I_{1} < I_{2} < I_{3} < \dots \end{matrix}

因为 $L$ 是有限维的，故 $I_{1}, I_{2}, \dots$ 都是有限维的；由包含关系， $\dim I_{k} < \dim I_{k + 1} \leq \dim L$ ， $\forall k$ ．因此链 $(*)$ 是有限长的，从而其必有一个上界．故由 Zorn 引理， $Ω$ 关于包含关系存在极大元，即极大可解理想存在．

唯一性由 2. 即证．

2．若 $L$ 存在极大可解理想 $M$ ，则对任一可解理想 $S$ ，由可解理想的可加性知 $M + S$ 是可解理想，且

M \leq M + S .

但 $M$ 为极大可解理想，故 $M = M + S$ ，即 $S ⊲ M$ ．

特别地，若 $M^{'}$ 也为 $L$ 的极大可解理想，则 $M^{'} ⊲ M$ ， $M ⊲ M^{'}$ ，故 $M = M^{'}$ ，这就说明 $L$ 只有一个极大可解理想． $◻$

对李代数 $L$ ，我们将这一最大可解理想称为其（可解）根（radical）．

定义：（可解）根（radical）

称李代数 $L$ 的唯一极大可解理想为其（可解）根（radical），记作 $rad L$ ．

半单李代数

如果李代数 $L$ 的根 $rad L = 0$ ，称 $L$ 是一个半单李代数．

定义：半单李代数（semisimple Lie algebra）

若 $rad L = 0$ ，称 $L$ 为半单李代数（semisimple Lie algebra）．

也就是说， $L$ 除了零理想外不存在可解理想．

例子：半单李代数

单李代数是半单李代数：其理想只有 $0$ 和 $L$ ，其中 $0 (= Z (L))$ 是可解的、 $L (= [L, L])$ 是不可解的，因此 $rad L = 0$ ．
$0$ 是半单李代数．
对任意李代数 $L$ ， $L / rad L$ 是半单李代数：假设 $I$ 是 $L / rad L$ 的一个可解理想，则典范映射 $π : L \mapsto L / rad L$ 下 $I$ 的原像 $π^{- 1} (I)$ 是包含 $rad L$ 的一个理想，则 $I = π^{- 1} (I) / rad L$ 可解且 $rad L$ 可解，故 $π^{- 1} (I)$ 可解且包含 $rad L$ ，这与极大性矛盾．

半单李代数的另一个刻画是：

定理：李代数半单当且仅当其无非零 Abel 理想

$L$ 半单当且仅当不存在理想 $0 \neq I ⊲ L$ ，使得 $[I, I] = 0$ ．

证明： 充分性．反设 $L$ 半单且有 Abel 理想 $I$ ，则 $I$ 可解，从而 $I ⊲ rad L$ ，这与 $rad L = 0$ 矛盾．

必要性．若 $L$ 非半单，则 $rad L \neq 0$ . $rad L$ 的导出列

rad L > (rad L)^{(2)} > \dots > (rad L)^{(n - 1)} > (rad L)^{(n)} = 0

的最后一个非零项 $(rad L)^{(n - 1)}$ 就是 Abel 理想，因为

0=(\operatorname{rad} L)^{(n)}=[(\operatorname{rad} L)^{(n-1)},(\operatorname{rad} L)^{(n-1)}].$$从而存在这样的理想． $\square$ 我们后续将在Killing form的讨论中用到这一刻画． 今后，本书最重要的一大部分内容就是研究特征零域上的半单李代数． # 幂零性（nilpotency） ## 递降中心列（DCS）与幂零性 > [!note] 定义：递降中心列（descending central series） > 对李代数 $L$，序列 > $$L^0:=L,\quad L^n:=[L,L^{n-1}]

称为 $L$ 的递降中心列（descending central series） 或 下中心列（lower central series）．

递归易证导出列的某一项含于递降中心列对应的项： $L^{(n)} \subset L^{n}$ ．

定义：幂零李代数（nilpotent Lie algebra）

若存在 $n \in N$ 使 $L^{n} = 0$ ，则称 $L$ 是幂零的（nilpotent）．

附注：可解李代数不一定幂零

先前我们已经说明幂零李代数一定是可解的；但可解李代数不一定幂零．考虑 $t_{n} (F)$ ：

它是非幂零的，因为 $[t_{n} (F), t_{n} (F)] = n_{n} (F), [t_{n} (F), n_{n} (F)] = n_{n} (F) .$
它是可解的，我们之前已经证过．
另一个可解但不幂零的例子是： $L = F x \oplus F y$ , $[x, y] = y$ ．

幂零代数与中心有着深切的关系．
{ #ff}
67 eb

命题：幂零代数与中心的关系

如果 $L$ 是幂零的，则其子代数及同态像均为幂零的．
如果 $L / Z (L)$ 是幂零的，则 $L$ 也是幂零的．
如果 $L$ 非零且幂零，则其中心非平凡： $Z (L) \neq 0$ ．进一步，递降中心列的最后一个非零项位于 $Z (L)$ 中．

证明： 1： $ϕ (L)^{n} \subset ϕ (L^{n})$ ， $K^{n} \subset L^{n}$ .

2：若 $L / Z (L)$ 幂零，不妨设 $(L / Z (L))^{n} = 0$ ，因此 $L^{n} \subset Z (L)$ ，从而

L^{n + 1} = [L, L^{n}] \subset [L, Z (L)] = 0.

3：设 $L^{n + 1} = 0$ ，即 $[L, L^{n}] = 0$ ，这说明 $L^{n} \subset Z (L)$ ．

伴随表示幂零性（ad-nilpotency）

从伴随表示的视角，可以刻画幂零李代数的性质：

命题：幂零李代数的伴随表示视角

$L$ 幂零当且仅当存在只与 $L$ 有关的正整数 $n$ ，使得对任意 $x_{1}, \dots, x_{n}, y$ 有

ad x_{1} \circ ad x_{2} \circ ad x_{3} \circ \dots \circ ad x_{n} (y) = 0.

这一命题是显然的．

这一视角启发我们去研究 $L$ 中元素的伴随表示的幂零性．定义：

定义：伴随表示幂零性（ad-nilpotency）

设 $x \in L$ ，若 $ad x \in End (L)$ 是幂零元，则称 $x$ 是 伴随表示幂零的（ad-nilpotent）．

下面的命题显然是对的：

命题：李代数幂零则所有元素伴随表示幂零

设 $L$ 幂零，则对任意 $x \in L$ ， $ad x$ 幂零．

一个非常有意思且非常不平凡的事情是：上述命题的逆命题也是对的，这就是所谓Engel 定理．

Engel 定理

Engel 定理及其证明

Engel 定理：所有元素伴随表示幂零则李代数幂零

若对于任意 $x \in L$ ，都有 $ad x$ 幂零，则 $L$ 幂零．

事实上，Engel 定理是下面的一个更有意思的定理的一个特殊情况（ $\dim L = 1$ ）:

定理 1：幂零线性李代数必可作用于向量化零

设 $L$ 是 $gl (V)$ 的一个子代数，其中 $V$ 非零且有限维．若 $L$ 由幂零线性同态构成，则存在非零向量 $v \in V$ 使 $L \cdot v = 0$ ．

我们先引入一个引理．

引理：线性李代数幂零元的伴随表示一定幂零

设 $x \in gl (V)$ 为幂零线性同态，则 $ad x$ 也是幂零的．

引理的证明： 对 $x$ 定义两个同态（左乘及右乘）：

λ_{x} (y) = x y, ρ_{x} (y) = y x .

这两个同态是幂零的，因为 $x$ 是幂零的．另一方面， $λ_{x}$ 与 $ρ_{y}$ 是可换的，因为

λ_{x} \circ ρ_{y} (z) = x z y = ρ_{y} \circ λ_{x} (z)

因此 $ad x = λ_{x} - ρ_{x}$ 是幂零的： $(ad x)^{\deg λ_{x} + \deg ρ_{y}}$ 当然是 $0$ . $◻$

附注：对这一引理的理解

如果 $K \subset gl (V)$ 是幂零的线性李代数，则 $ad K := {ad x : x \in K} \subset End (gl (V))$ 是 $gl (V)$ 的一个幂零的自同态集．特别地，将 $ad K$ 限制在包含 $K$ 的一个较大的子空间 $L$ 上，则 $ad K$ 就是 $L$ 的一个幂零的自同态集．
用李代数作用的语言，如果 $K < L$ 是线性李代数，且 $K$ 是幂零的，则 $K$ 可以通过伴随表示作用于 $L$ ： $x \cdot v := ad x (v)$ ，且这一作用也是幂零的．

下面我们证明定理 1.

定理 1 的证明： 对 $\dim L$ 归纳． $\dim L = 0$ 或 $1$ 的情形是显然的（ $L = F x$ ， $x^{n} V = 0 \Rightarrow R x \cdot (x^{n - 1} v) = 0$ ）．

对一般情况，假设命题对小于 $\dim L$ 的情形成立．我们先开发一 Claim：

Claim 1

设 $K \neq L$ 是 $L$ 的任一非零李代数，则存在 $x \in N_{L} (K) ∖ K$ ，使得 $K$ 通过伴随表示作用于 $x$ 的结果在 $K$ 之中．

Claim 1 的证明． 我们用归纳假设构造出一个满足条件的 $x \in L ∖ K$ ，然后证明 $x \in N_{L} (K)$ ．

$K \neq L$ 是 $L$ 的任一非零子代数，则 $\dim K \geq 1$ ，且 $K$ 也是幂零线性李代数．由引理， $K$ 通过伴随表示幂零地作用于线性空间 $L$ ，同理如此作用（将伴随表示诱导的同态复合上一个同态 $φ$ ）于 $L / K$ ．这一作用诱导的同态满足如下的交换图：

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
	\node at (0,0) {$K$};
	\node at (3,0) {$\mathrm{gl}(L)$};
	\node at (3,-3) {$\mathrm{gl}(L/K)$};
	\draw[->] (.5,0) -- (2.5,0) node[pos=.5,above] {$\mathrm{ad}$};
	\draw[->] (3,-.5) -- (3,-2.5) node[pos=.5,right] {$\varphi$};
	\draw[->] (.5,-.5) -- (2.5,-2.5) node[pos=.5,below left] {$\varphi\circ\mathrm{ad}$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

这里， $φ : gl (L) \to gl (L / K)$ 为典范的“同态嵌入”，就是将同态 $(v \mapsto v^{'})$ 映为同态 $(v + K \mapsto v^{'} + K)$ 的“线性同态的同态”．也就是说，对任意的 $z \in K$ ，其在 $φ \circ ad$ 下的结果为

φ \circ ad (z) := (w + K \mapsto [z, w] + K) .

容易验证这是良定义的．

假设在 $φ \circ ad$ 下， $K$ 打到 $gl (L / K)$ 中的像为 $K^{'}$ ．由于 $\dim K^{'} \leq \dim K < \dim L$ ，归纳假设保证存在 $x + K \in L / K$ 使得 $K^{'}$ 作用于 $x + K$ 为 $0$ ，这里 $x$ 是一个 $L ∖ K$ 中的代表元．即对任意 $y^{'} \in K^{'} \subset gl (L / K)$ ，都有 $y^{'} (x + K) = 0$ ．这说明对任意 $y \in K$ ，都有

0 = φ \circ ad (y) (x + K) = [y, x] + K \Rightarrow [y, x] \in K .

最后，回忆正规化子的定义： $N_{L} (K) := {x \in L : [x, K] \subset K}$ ．上面的式子说明 $x \in N_{L} (K)$ ． Claim 1证毕． $#$

回到原题． 在上述 Claim 中取 $K$ 为 $L$ 的极大真子代数．由于 $K ⊲ N_{L} (K)$ ，因此 $N_{L} (K) = L$ 或 $K$ （极大性），无论如何都有 $K ⊲ L$ ，因此商代数 $L / K$ 可以定义．我们现在来说明：

Claim 2：商去极大真子代数后维数为 1

取 $K$ 为 $L$ 的极大真子代数，则在上述条件下， $\dim L / K = 1$ ．

Claim 2 的证明． 否则， $L / K$ 的任一一维子代数在典范映射 $π : L \to L / K$ 下的原像将是包含 $K$ 的一个子代数，矛盾． $#$

回到原题． 因此， $K$ 的余维数为 $1$ ，因为恰有一个子空间 $F z$ 使得 $z + K \in L / K$ ．因此，我们可将 $L$ 写为

L = K + F z, z \in L ∖ K .

我们最后借这一拆分完成证明．

考虑被 $K$ 零化的线性空间

W = {v \in V : K (v) = 0} .

由归纳假设， $W$ 非零．我们下面说明 $W$ 是 $z$ 的作用的一个不变子空间．这是因为对任意 $y \in K$ ， $v \in V$ 有

y (z (v)) = (y z) (v) = (y z) (v) - \underset{= 0}{\underset{⏟}{z (y (v))}} = (y z - z y) (v) = [y, z] (v) = 0,

其中最后一个等号是因为 $K$ 是理想，故 $[y, z] \in K$ ，从而 $v$ 被 $[y, z]$ 零化．由于 $y$ 是任意的，以上说明 $z (v) \in W$ ，由 $v$ 的任意性， $W$ 是 $z$ 的作用的一个不变子空间．因此限制映射 $z |_{W}$ 有特征向量 $v \in W$ ， $z (v) = 0$ ，故 $L (v) = K (v) + F z (v) = 0$ . $◻$

最后，我们用这一定理证明 Engel 定理．

Engel 定理的证明： 对 $\dim L$ 归纳． $\dim L = 0, 1$ 时显然（各只有一种代数）．

设命题对小于 $\dim L$ 的元素成立，且李代数 $L$ 的所有元素均为伴随表示幂零的，则 $ad L \subset gl (L)$ 满足定理 1，从而存在 $x \in L ∖ {0}$ 使得 $[L, x] = 0$ ，这说明 $L$ 的中心 $Z (L)$ 非平凡．因此

L / Z (L)

由幂零元构成（考虑典范映射），且维数严格小于 $L$ ，由归纳假设知其幂零．根据幂零代数与中心的关系，我们得到 $L$ 是幂零的．

综上，由归纳法，命题成立． $◻$

本节由一个例题结束．

例题：

n_{n} (F)

是幂零的

证明：应用引理及 Engel 定理．

注意：伴随表示幂零不能得到幂零

考虑单位阵 $I_{n}$ ：显然其伴随表示是幂零的，但它自身不是幂零的！

读者应谨记两类截然不同的幂零线性李代数： $d_{n} (F), n_{n} (F)$ ．

旗（flag）

定理 1的一种等价形式是用旗刻画的性质．我们先介绍旗的概念：

定义：旗（flag）与稳定化（stabilization）

设 $\dim V = n$ ，线性空间 $V$ 的一个 旗（flag） 是子空间链

0 = V_{0} \subset V_{1} \subset \dots \subset V_{n} = V, \dim V_{i} = i .

若 $x \in End (V)$ 满足 $x (V_{i}) = V_{i}, \forall i$ ，我们称 $x$ **稳定（stabilizes）**这个旗．

则定理 1 的一个推论（实际上是等价形式）是

推论

设 $L$ 是 $gl (V)$ 的一个子代数，其中 $V$ 非零且有限维．若 $L$ 由幂零线性同态构成，存在一个旗 ${V_{i}} \subset V$ ，使得对任意的 $x \in L$ ，都有 $x \cdot V_{i} \subset V_{i - 1}$ .
用矩阵的语言表示：存在 $V$ 的一组基，使得 $L$ 中所有元素在这组基下的矩阵在 $n_{n} (F)$ 中．

证明： 对 $\dim V$ 归纳． $\dim V = 0, 1$ 时显然．设对 $\dim V - 1$ 成立，则对 $\dim V$ ，设 $v \in V$ 为任一被 $L$ 零化的向量——由定理 1，这一类向量是存在的．令 $V_{1} = F v$ ，令 $W = V / V_{1}$ ，则 $W$ 中存在这样的旗，考虑这样的旗在典范同态下的原像即可． $◻$

一个有用的引理：定理 1的一个应用

引理：幂零李代数中非零理想必含中心元素

设 $L$ 是幂零李代数， $K$ 为非零理想，且 $L$ 的中心非平凡，则 $K \cap Z (L) \neq 0$ .

证明： 设 $L$ 通过伴随表示作用于 $K$ ，由定理 1 可取出一个 $K$ 的非零元 $x$ ，使得 $L$ 与其作用时将其零化，即 $[L, x] = 0$ ，从而 $x$ 为中心元素． $◻$