15. Cartan 子代数

为了让根系的选择不取决于某极大环面子代数的选定，而让 $Φ$ 直接由 $L$ 确定，我们需要证明所有的极大环面子代数在 $Aut L$ 作用下是相互共轭的。这将在下一节被完成，但我们可以将其推广到任意李代数的情型——相应的 $H$ 被称作Cartan 子代数。在更广的上下文下讨论可以使得证明更简单——我们可借助有关可解李代数的一些讨论。

本章中，我们将准备证明的框架：这里 $F$ 一般是任意特征的代数闭域——有时候可被弱化：对我们的主要结论而言，只需 $| F ∥$ 相对于 $\dim L$ 不要过小即可。

李代数关于某元素半随表示的分解

回忆 J-C 分解：若 $t \in End (V)$ ，则 $V$ 是各根子空间 $V_{a}$ 的直和，且将 $t$ 限制到 $V_{a}$ 上后，得到的是纯量乘法 $a$ 与幂零同态的和。

将这一观点对元素 $x \in L$ 的伴随表示来看起。将 $L$ 写为

L = ⨆_{α \in F} L_{α} (ad x) = L_{0} (ad x) \oplus L_{*} (ad x),

这里 $L_{*} (ad x)$ 表示诸 $L_{a} (ad x)$ （ $a \neq 0$ ）的直和。更一般地，若 $K$ 是 $L$ 在 $ad x$ 下稳定的子代数，我们可以写为

K = K_{0} (ad x) \oplus K_{*} (ad x),

即使 $x \notin K$ 。

引理

若 $a, b \in F$ ，则 $[L_{a} (ad x), L_{b} (ad x)] \subset L_{a + b} (ad x)$ . 特别地， $L_{0} (ad x)$ 是 $L$ 的一个子代数，且当 $F$ 特征零、 $a$ 非零时， $L_{α}$ 的每一个元素都是伴随表示幂零的。

证明： 下一公式是这一引理证明中提到的公式的一个特殊情况：

{(ad x - (a + b))}^{m} ([y, z]) = \sum_{i = 0}^{m} (\binom{m}{i}) [(ad x - a)^{m - i} (y), (ad x - b)^{i} (z)] .

对足够大的 $m$ ，右侧均为 $0$ ：若 $y \in L_{a} (ad x)$ ， $z \in L_{b} (ad x)$ 。 $◻$

Engel 子代数

由上述引理， $L_{0} (ad x)$ 是 $L$ 的一个子代数，对 $x \in L$ 来说。我们称这样的子代数叫 Engel子代数。

定义：Engel 子代数

对固定的 $x \in L$ ，称 $ad x$ 关于特征值 $0$ 的根子空间 $L_{0} (ad x)$ 为 Engel子代数（Engel subalgebra）。

引理：极小 Engel 子代数为最小 Engel 子代数

设 $K$ 是 $L$ 的子代数，选取 $z \in K$ 使得 $L_{0} (ad x)$ 在诸 ${L_{0} (ad x) : x \in K}$ 中极小。若 $K \subset L_{0} (ad z)$ ，则 $L_{0} (ad z) \subset L_{0} (ad x)$ ， $\forall x \in K$ 。

证明： 从固定的任意 $x \in K$ 开始，考虑集合

{ad (z + c x) : c \in F} \subset End L .

由于 $K_{0} = L_{0} (ad z)$ 是 $L$ 中包含 $K$ 的子代数，此集合稳定 $K_{0}$ ，故诱导 $L / K_{0}$ 上的同态。对未定元 $T$ ，我们可将 $ad (z + c x)$ 的特征多项式表示为 $f (T, c) g (T, c)$ ：二者分别为其在 $K_{0}$ 、 $L / K_{0}$ 上的特征多项式。记 $r = \dim K_{0}$ ， $n = \dim L$ ，则可记

f (T, c) = T^{r} + f_{1} (c) T^{r - 1} + \dots + f_{r} (c),

g (T, c) = T^{n - r} + g_{1} (c) T^{n - r - 1} + \dots + g_{n - r} (c) .

读者将看出，各 $f_{i}, g_{i}$ 均为次数至多为 $i$ 的多项式。

由定义， $ad z$ 的特征值 $0$ 只出现在 $K_{0}$ 中，这说明（考虑特殊情况 $c = 0$ ） $g_{n - r}$ 并非恒为 $0$ 。因此我们可以找到任意多非 $g_{n - r}$ 零点的值。假设 $c_{1}, \dots, c_{r + 1}$ 是两两不同满足该条件的值，而 $g_{n - r} (c) \neq 0$ 当且仅当 $0$ 不是 $ad (z + c x)$ 在商空间上的特征值：这要求 $L_{0} (ad (z + c x))$ 位于子空间 $K_{0}$ 之中。但后者被选为极小的，我们因此得到 $L_{0} (ad (z + c_{i} x))$ ， $1 \leq i \leq r + 1$ 。因此 $ad (z + c_{i} x)$ 在 $L_{0} (ad z)$ 上有且仅有特征值 $0$ ，即 $f (T, c_{i}) = T^{r}$ 。因此每个特征多项式 $f_{1}, \dots, f_{r}$ 有 $r + 1$ 个不同零点，从而各多项式恒为 $0$ 。

我们已说明 $L_{0} (ad (z + c x)) \supset K_{0}, \forall c \in F$ 。由于 $x$ 是任意的，我们用 $x - z$ 代替它，并取 $c = 1$ ，即得 $L_{0} (ad x) \supset L_{0} (ad z)$ 。 $◻$

引理：包含 Engel 子代数的子代数的正规化代数

设 $K$ 是 $L$ 的子代数，且包含一个 Engel 子代数，则 $N_{L} (K) = K$ 。特别地，Engel 子代数自正规化。

定理： 不妨设 $K \supset L_{0} (ad x) ∋ x$ 。则 $ad x$ 作用在 $N_{L} (K) / K$ 上的作用无特征值 $0$ 。取 $L_{0} (ad x)$ 的一组线性基 $v_{1} \dots v_{r}$ ，扩充到 $K$ 的一组线性基 $v_{1} \dots v_{s}$ ，再扩充到 $L$ 一组基，则

ad (x) (v_{1}, \dots, v_{n}) = (v_{1}, \dots, v_{n}) (\begin{matrix} A_{1} & A_{2} & A_{3} \\ B_{2} & B_{3} \\ C_{3} \end{matrix}) .

这里 $A_1,B_2特征值不为 $0$ 。

另一方面， $x \in K$ 给出 $[N_{L} (K), x] \subset K$ ，故 $ad x$ 在 $N_{L} (K) / K$ 上的作用是平凡的：即 $C_{3} = 0$ 。以上给出 $K = N_{L} (K)$ 。 $◻$

Cartan 子代数

定义：Cartan 子代数

Cartan 子代数（Cartan subalgebra, CSA） 是 $L$ 中等于其正规化子的幂零子代数。

例子

若 $L$ 为特征零域上半单李代数，则极大环面子代数 $H$ 是平凡、因此是幂零的，且 $N_{L} (H) = H$ ：因为 $L = H + ⨁_{α \in Φ} L_{α}$ ， $[H, L_{α}] = L_{α}$ ， $\forall α \in Φ$ 。因此任一极大环面子代数是 Cartan 子代数。
对一般的情况，如 $F$ 是有限域时，存在性还未完全确定。

关于其存在性，我们有：

定理：CSA 是极小 Engel 子代数

设 $H < L$ ，则 $H$ 是 CSA 当且仅当 $H$ 是极小 Engel 子代数。

证明： 充分性。若 $H = L_{0} (ad z_{0})$ 是 Engel 子代数，由前述引理知 $H$ 自正规化。若 $H$ 是极小 Engel 子代数，则其为最小 Engel 子代数，这导致 $H \subset L_{0} (ad x), \forall x \in H$ 。特别地，对 $x \in H$ ， ${ad}_{H} x$ 是幂零的。由 Engel 定理， $H$ 是幂零的。

必要性。相反地，设 $H$ 是 $L$ 的 CSA。若 $H$ 是幂零的， $H \subset L_{0} (ad x)$ ， $\forall x \in H$ ，我们希望等式至少对某一个 $x$ 成立。否则，取 $L_{0} (ad z)$ 为最小 Engel 子代数，则在线性空间 $L_{0} (ad z) / H$ 上诱导的 $H$ 的表示中，每一个 $x \in H$ 的作用是一个幂零线性同态。由 3. 可解性和幂零性#Engel 定理及其证明中的内容， $H$ 零化某些非零的 $y + H$ ；或者说，存在某些 $y \notin H$ 使得 $[H, y] \subset H$ 。这与 $H$ 自正规化矛盾。 $◻$

推论：CSA 是极大环面子代数

若 $L$ 半单， $F$ 特征零，则 $L$ 的 CSA 恰为 $L$ 的极大环面子代数。

证明： 我们已说明任意极大环面子代数都是 CSA。相反地，设 $H$ 是 $L$ 的 CSA，注意到 $x = x_{s} + x_{n}$ 是 $x$ 在 $L$ 中的 Jordan 分解，则 $L_{0} (ad x_{s}) \subset L_{0} (ad x)$ ：被 $y$ 由 $ad x_{s}$ 的某个幂零化则被 $ad x$ 的某个幂零化。注意到对半单元 $x \in L$ ， $L_{0} (ad x) = C_{L} (x)$ ，因为 $ad x$ 可对角化。现在 $H$ 是 $L_{0} (ad x)$ 形式的极小 Engel 代数，上面的附注，由极小性，给出 $H = L_{0} (ad x_{s}) = C_{L} (x_{s})$ （因为 $H = L_{0} (ad x) \supset L_{0} (ad x_{s}) = C_{L} (x_{s})$ ）。但 $C_{L} (x_{s})$ 明显包含 $L$ 的极大环面子代数，因此是一个 CSA，由极小性知 $C_{L} (x_{s}) = H$ ，再由半单性知 $H$ 中元素均为半单元。故 $H$ 是极大环面子代数。 $◻$

附注

作为证明的一个推论，我们发现半单李代数的极大环面子代数是 $C_{L} (s)$ 的形式，这里 $s$ 为某半单元。这样的元素 $s$ 称为 正则半单元（regular semisimple）

函子性

引理：CSA 在满同态的像下是 CSA

设 $φ : L \to L^{'}$ 是一个满同态，若 $H$ 是 $L$ 的一个 CSA，则 $φ (H)$ 是 $L^{'}$ 是 CSA。

证明： 显然 $φ (H)$ 是幂零的。令 $A = \ker φ$ ，且由 $L / A$ 确定 $L^{'}$ 。若 $x + A$ 正规化 $H + A$ ，则 $x \in N_{L} (H + A)$ 。但 $H + A$ 包含 CSA（因为是一个Engel子代数），故 $H + A$ 自正规化（上面的自正规化引理）。因此 $x \in H + A$ ， $φ (H)$ 自正规化。

引理：CSA 在满同态下的原像的 CSA 是整个李代数的 CSA

设 $φ : L \to L^{'}$ 是一个满同态， $H^{'}$ 是 $L^{'}$ 的 CSA， $K = ϕ^{- 1} (H^{'})$ ，则 $K$ 中任意 CSA $H$ 同样是 $L$ 的一个 CSA。

证明： $H$ 幂零。由上一引理， $ϕ (H)$ 是 $ϕ (K) = H^{'}$ 的CSA，这要求 $ϕ (H) = H^{'}$ （因为 CSA 是极小 Engel）。如果 $x \in L$ 正规化 $H$ ，则 $ϕ (x)$ 正规化 $ϕ (H)$ ，导致 $ϕ (x) \in ϕ (H)$ ，或 $x \in H + \ker ϕ$ 。但 $\ker ϕ \subset K$ ，故 $x \in H + K \subset K$ 。因此 $x \in N_{K} (H) = H$ ，因为 $H$ 是 $K$ 的一个 CSA。 $◻$