Fourier变换解热方程

考虑

\begin{matrix} (*) & {\begin{cases} \partial_{t} u - Δ u = f (x, t), & x \in R^{n} \\ u (x, 0) = φ (x) \end{cases} \end{matrix}

由于算子 $- Δ_{R^{n}}$ 有绝对连续谱：

- Δ_{R^{n}} (e^{- i x \cdot ξ}) = | ξ |^{2} e^{- i x ξ}, \forall x ⩾ 0 ⟹ 绝 对 连 续 谱 为 [0, + \infty)

可以用 Fourier 变换处理。

注：分离变量法与 Fourier 变换
分离变量法和 Fourier 变换是一回事
离散谱：Fourier 级数
绝对连续谱：Fourier 变换

用 Fourier 变换研究初值问题

在 $(*)$ 两边关于 $x$ 作 Fourier 变换，可得

{\begin{cases} \partial_{t} \hat{u} (ξ, t) + 4 π^{2} | ξ |^{2} \hat{u} (ξ, t) = \hat{f} (ξ, t) \\ \hat{u} (ξ, 0) = \hat{φ} (ξ) \end{cases}

这是一阶线性常微分方程，解得

\hat{u} (ξ, t) = e^{- 4 π^{2} | ξ |^{2} t} \hat{φ} (ξ) + \int_{0}^{t} e^{- 4 π^{2} | ξ |^{2} (t - s)} \hat{f} (ξ, s) d s

若 $f \equiv 0$ ，则 $u (x, t) = {(e^{- 4 π^{2} | ξ |^{2} t})}^{\lor} * φ$ .， $\lor$ 表示逆变换

对 Schwarz 函数的对偶空间 $f \in (S (R^{n}))^{'} = S^{'} (R^{n})$ ）（缓增分布）
定义 Fourier 变换为 $⟨ \hat{f}, φ ⟩ = ⟨ f, \hat{φ} ⟩$ ， $\forall φ \in S (R^{n})$

解方程

{\begin{cases} u_{t} - Δ u = 0, & x \in R^{n} \\ u (x, 0) = φ (x) \end{cases}

两边作 Fourier 变换得

{\begin{cases} \partial_{t} \hat{u} + 4 π^{2} | ξ |^{2} \hat{u} (ξ, t) = 0 \\ \hat{u} (ξ, 0) = \hat{φ} (ξ) \end{cases}

得 $\hat{u} (ξ, t) = e^{- 4 π^{2} | ξ |^{2} t} \hat{φ} (ξ)$ 。

两边同时取 Fourier 逆变换，得

u (x, t) = {(e^{- 4 π^{2} | ξ |^{2} t} \hat{φ})}^{\lor} = {(e^{- 4 π^{2} | ξ |^{2} t})}^{\lor} * φ \overset{例 4}{=} \frac{1}{(2 π \sqrt{t})^{n}} π^{\frac{n}{2}} e^{- π^{2} {| \frac{x}{2 π \sqrt{t}} |}^{2}} = \frac{e^{- \frac{| x |^{2}}{4 t}}}{(4 π t)^{\frac{n}{2}}}

这就解出了方程：

u (x, t) - \frac{1}{(4 π t)^{\frac{n}{2}}} \int_{R^{n}} e^{- \frac{| x - y |^{2}}{4 t}} φ (y) d y

令 $K (x) = \frac{1}{(4 π)^{\frac{n}{2}}} e^{- \frac{| x |^{2}}{4}}$ ， $K_{t} (x) = \frac{1}{(\sqrt{t})^{n}} K (\frac{x}{\sqrt{t}})$ ，则

u (x, t) = (K_{t} * φ) (x)

对于 ${K_{t} (x)}_{t > 0}$ ，有

\int_{R^{n}} K_{t} (x) d x = \int_{R^{n}} K (x) d x = 1

\int_{R^{n}} | K_{t} (x) | d x = 1 (bounded)

\int_{| x | > η} | K_{t} (x) | d x \overset{y = x / \sqrt{t}}{=} \int_{| y | > η / \sqrt{t}} K (y) d y \overset{t \to 0^{+}}{⟶} 0.

若 $φ$ 是连续、有界函数，则 $lim_{t \to 0^{+}} u (x, t) = φ (x)$ .

说明解是解这个初值问题的。

\begin{aligned} u (x, t) - φ (x) & = \int_{R^{n}} K_{t} (y) φ (x - y) d x - \int_{R^{n}} K_{t} (y) φ (x) d y \\ \overset{z = y / \sqrt{t}}{=} \int_{R^{n}} K (z) φ (x - \sqrt{t} z) - \int K (z) φ (x) d z \\ = \int_{R^{n}} K (z) (φ (x - \sqrt{t}) - φ (x)) d z . \end{aligned}

$\forall ε > 0$ ， $\exists δ$ s.t. $| y | < δ$ ，则

| φ (x - y) - φ (x) | < ε

且由于 $K (z)$ 在 $R^{n}$ 上可积， $\forall ε > 0$ ， $\exists R$ s.t.

\int_{| z | > R} K (z) d z < ε

于是

\begin{aligned} | u (x, t) - φ (x) | & = | \int_{R^{n}} K (z) (φ (x - \sqrt{t} z) - φ (x)) d z | \\ \leq \int_{| z | > R} + \int_{| z | < R} \end{aligned}

后一项：由于 $t \to 0^{+}$ ， $| \sqrt{t} z | < δ$ ，因此

| φ (x - \sqrt{t} z) - φ (x) | < ε

故 $| 后一项 | \leq ε \int | K (z) | d z ⩽ ε$ 。

前一项：设 $| φ | \leq M$ ， $\forall x \in R^{n}$ ，则 $第一项 \leq 2 M \int_{| z | > R} | K (z) | d z \leq 2 M ε$ .
故 $| u - φ | < ε$ ，Claim 得证。

原方程的解是 $φ$ 与一个光滑函数的卷积，因此

{\begin{cases} \partial_{t} u - Δ u = f (x, t), & x \in R^{n} \\ u (x, 0) = φ (x) \end{cases}

作 Fourier 变换

{\begin{cases} \partial_{t} \hat{u} + 4 π^{2} | ξ |^{2} \hat{u} (ξ, t) = \hat{f} (ξ, t) \\ \hat{u} (ξ, 0) = \hat{φ} (ξ) \end{cases}

\hat{u} (ξ, t) = e^{- 4 π^{2} | ξ |^{2} t} \hat{φ} (ξ) + \int_{0}^{t} e^{- 4 π^{2} | ξ |^{2} (t - s)} \hat{f} (ξ, s) d s

再作 Fourier 逆变换

u (x, t) = \frac{1}{(4 π t)^{\frac{n}{2}}} \int_{R^{n}} e^{- \frac{| x - y |^{2}}{4 t}} φ (y) d y + \int_{0}^{t} \frac{1}{(4 π (t - s))^{\frac{n}{2}}} \int_{R^{n}} e^{- \frac{| x - y |^{2}}{4 (t - s)}} f (y, s) d y d s