极值原理与比较原理

考虑热传导方程

{\begin{cases} u_{t} - Δ u = 0, & Ω \times (0, + \infty) \\ u (x, 0) = φ (x), & Ω \\ u (x, t) = h (x, t), & \partial Ω \times [0, + \infty) \end{cases}

令 $Ω_{T} = Ω \times [0, T]$ ，定义抛物边界 $Γ_{T} = {\bar{Q}}_{T} ∖ Q_{T}$ ．

极大值原理

假设 $u \in C^{2, 1} (Q_{T}) \cap C ({\bar{Q}}_{T})$ 满足方程

u_{t} - Δ u = f < 0

则 $u (x, t)$ 在 ${\bar{Q}}_{T}$ 上的最大值必在抛物边界 $\partial Q_{T}$ 上取到，即

max_{{\bar{Q}}_{T}} u (x, t) = max_{\partial Q_{T}} u (x, t) .

以下记算子 $L u = u_{t} - Δ u$ ．

令 $M = max_{{\bar{Q}}_{T}}$ ， $m = max_{\partial Q_{T}}$ ，则

设 $f < 0$ ，若 $M > m$ ，设 $u$ 在 $(x_{0}, t_{0}) \in Q_{T}$ 达到最大值 $M$ ，则 $u_{t} (x_{0}, t_{0}) \geq 0$ ， $Δ u (x_{0}, t_{0}) \leq 0$ ，从而

f (x_{0}, t_{0}) = u_{t} (x_{0}, t_{0}) - Δ u (x_{0}, t_{0}) \geq 0,

矛盾．

设 $f \leq 0$ ，令 $v = u - ε t$ ，则

L v = L u - ε = f - ε < 0.

从而由第一步知

max_{{\bar{Q}}_{T}} u - ε T \leq max_{{\bar{Q}}_{T}} v = max_{\partial Q_{T}} v \leq max_{\partial Q_{T}} u .

即证．

设 $u \in C^{2, 1} (Q_{T}) \cap C ({\bar{Q}}_{T})$ 满足方程

L u = f \geq 0

则 $u$ 在 ${\bar{Q}}_{T}$ 上的最小值必在抛物边界 $\partial Q_{T}$ 上达到，即 $min_{{\bar{Q}}_{T}} u = min_{\partial Q_{T}} u$

设 $u, v \in C^{2, 1} (Q_{T}) \cap C ({\bar{Q}}_{T})$ 满足

L u \leq L v, u |_{\partial Q_{T}} \leq v |_{\partial Q_{T}}

则 ${\bar{Q}}_{T}$ 上 $u \leq v$ ．