能量估计

说明

为了方便，以下只考虑 $a = 1$ 的情况． $a \neq 1$ 时可令 $u (x, t) = v (a x, t)$ ．

能量

引入：紧支解的一个守恒量

由 $u_{t t} - a^{2} Δ u = 0$ ，得 $u_{t} (u_{t t} - Δ u) = 0$ ．而

\begin{aligned} u_{t} (u_{t t} - Δ u) & = u_{t} u_{t t} - u_{t} Δ u \\ \overset{重 要 公 式}{=} \frac{1}{2} \partial_{t} (u_{t}^{2}) - \sum_{i = 1}^{n} u_{t} u_{i i} \\ =_{u_{t} \partial_{i} u_{i} = \partial_{i} (u_{t} u_{i}) - \partial_{i} u_{t} \cdot u_{i}}^{分 部 积 分 的 微 分 形 式} \frac{1}{2} \partial_{t} (u_{t}^{2}) - \sum_{i = 1}^{n} (\partial_{i} (u_{t} u_{x}) - \partial_{i} u_{t} \cdot u_{i}) \\ = \frac{1}{2} (u_{t}^{2})_{t} - \sum_{i = 1}^{n} ((u_{t} u_{i})_{i} - u_{i} u_{i t}) \\ \overset{重 要 公 式}{=} \frac{1}{2} (u_{t}^{2})_{t} - \sum_{i = 1}^{n} ((u_{t} u_{i})_{i} - \frac{1}{2} (u_{i}^{2})_{t}) \\ \overset{化 为 散 度 项}{=} \frac{1}{2} (u_{t}^{2})_{t} + \frac{1}{2} {(| \nabla u |^{2})}_{t} - \nabla \cdot (u_{t} \nabla u) \\ = \frac{\partial}{\partial t} (\frac{1}{2} (u_{t}^{2}) + \frac{1}{2} | \nabla u |^{2}) - \nabla \cdot (u_{t} \nabla u) . \end{aligned}

若 $u$ 及其任意导数在无穷远处为 $0$ ——函数及其导数是紧支的，则对两边积分得

\begin{aligned} 0 & = \frac{\partial}{\partial t} \int_{R^{n}} (\frac{1}{2} (u_{t}^{2}) + \frac{1}{2} | \nabla u |^{2}) d x - \int_{R^{n}} \nabla \cdot (u_{t} \nabla u) d x \\ \overset{散 度 定 理}{=} \frac{\partial}{\partial t} \int_{R^{n}} (\frac{1}{2} (u_{t}^{2}) + \frac{1}{2} | \nabla u |^{2}) d x - \int_{\partial R^{n}} (u_{t} \nabla u) \cdot d S \\ \overset{无 穷 远 处 为 0}{=} \frac{\partial}{\partial t} \int_{R^{n}} (\frac{1}{2} (u_{t}^{2}) + \frac{1}{2} | \nabla u |^{2}) d x . \end{aligned}

变形策略纲要

转化的目标是：我们尝试作某种估计，得到方程的一些信息．
转化的思路是：为了做这种估计，我们希望化为尽量少的信息，一种想法是尝试对方程降阶．
降阶的手法是：通过化出散度项，这样对其在紧支上积分时，由散度定理可知其可转化为在边界上的积分，从而化为 $0$ ，简化表达式．
采用的手段是：对 Laplace 项，乘上一个微分项，再用分部积分的微分形式（反用乘法法则）转化．
一个重要的公式是： $u_{x} u_{x y} = \frac{1}{2} (u_{x})_{y}^{2}$ ．

这说明

E (t) = \int_{R^{n}} (\frac{1}{2} (u_{t}^{2}) + \frac{1}{2} | \nabla u |^{2}) d x .

是一个关于时间不变的守恒量．

能量函数

定义

e (t) = \frac{1}{2} (u_{t}^{2}) + \frac{1}{2} | \nabla u |^{2}

为能量密度；

E (t) = \int_{R^{n}} e (t) d x = \int_{R^{n}} (\frac{1}{2} (u_{t}^{2}) + \frac{1}{2} | \nabla u |^{2}) d x

为能量函数．

估计的重要引理：Gronwall 不等式

定义在 $[a, b]$ 上的非负连续函数 $u (t)$ 、 $v (t)$ ，若满足

u (t) \leq A + \int_{a}^{t} u (s) v (s) d s,

则

u (t) \leq A \cdot e^{\int_{a}^{t} v (s) d s} .

第一类边值条件的能量估计

考察方程

{\begin{cases} L u = f (x, t), & 0 \leq t \leq T \\ u (x, 0) = φ, u_{t} (x, 0) = ψ, \\ u (x, t) |_{\partial Ω} = 0 \end{cases}

方程两边同乘 $u_{t}$ ，得

\frac{\partial}{\partial t} (\frac{1}{2} (u_{t}^{2}) + \frac{1}{2} | \nabla u |^{2}) = \nabla \cdot (u_{t} \nabla u) + u_{t} f

在 $Ω$ 上积分：

\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial t} \int_{Ω} (\frac{1}{2} (u_{t}^{2}) + \frac{1}{2} | \nabla u |^{2}) d x & = \int_{Ω} u_{t} f d x \\ \leq \frac{1}{2} \int_{Ω} (u_{t})^{2} d x + \frac{1}{2} \int_{Ω} | f (x, t) |^{2} d x \\ \leq \int_{Ω} (\frac{1}{2} (u_{t}^{2}) + \frac{1}{2} | \nabla u |^{2}) d x + \frac{1}{2} \int_{Ω} | f (x, t) |^{2} d x . \end{aligned}

即

E^{'} (t) \leq E (t) + \frac{1}{2} \int_{Ω} | f (x, t) |^{2} d x

从而

\frac{d}{d t} (e^{- t} E (t)) \leq \frac{1}{2} e^{- t} \int_{Ω} | f (x, t) |^{2} d x .

两边积分得

e^{t} E (t) - E (0) \leq \frac{1}{2} \int_{0}^{t} e^{t} \int_{Ω} | f (x, t) |^{2} d x

即

\begin{aligned} E (t) & \leq e^{t} E (0) + \frac{1}{2} \int_{0}^{t} e^{t - s} d s \int_{Ω} | f (x, s) |^{2} d x \\ \overset{t ⩽ T}{\leq} C_{T} (E (0) + \frac{1}{2} \int_{0}^{T} \int_{Ω} | f (x, t) |^{2} d x d t) . \end{aligned}

而 $E (0) = \frac{1}{2} \int_{Ω} (| ψ |^{2} + | \nabla φ |^{2}) d x$ 为已知的有界量．综上，我们导出了能量不等式：

能量不等式

设 $u \in C^{1} ({\bar{R}}^{n} \times (0, + \infty)) \cap C^{2} (R^{n + 1} \times (0, + \infty))$ 是初值问题在 $Ω$ 上的解，则其能量函数

E (t) = \frac{1}{2} \int_{Ω} (u_{t}^{2} + | \nabla u |^{2}) d x

满足如下的能量不等式：

E (t) \leq C_{T} (\frac{1}{2} \int_{Ω} (| ψ |^{2} + | \nabla φ |^{2}) d x + \frac{1}{2} \int_{0}^{T} \int_{Ω} | f (x, t) |^{2} d x d t) .

解的 $L^{2}$ 估计

令

E_{0} (t) = \int_{Ω} | u (x, t) |^{2} d x

由能量不等式可以对其进行估计．两边对 $t$ 求导得

E_{0}^{'} (t) = 2 \int_{Ω} u u_{t} d x \leq \int_{Ω} u^{2} d x + \int_{Ω} u_{t}^{2} d x = E_{0} (t) + \int_{Ω} u_{t}^{2} d x .

由 Gronwall不等式（ $u (t) = E^{'} (t)$ ， $v (t) = 1$ ）：

\begin{aligned} E_{0} (t) & \leq C_{T} (E_{0} (0) + \int_{0}^{T} \int_{Ω} | u_{t} |^{2} d x d t) \\ \overset{| u_{T} |^{2} 放 成 能 量}{\leq} C_{T} (E_{0} (0) + C_{T}^{(1)} C_{T}^{(2)} (E (0) + \frac{1}{2} \int_{0}^{T} \int_{Ω} | f (x, t) |^{2} d x d t)) \\ \overset{常 数 全 部 吃 掉}{\leq} C_{T} (E_{0} (0) + E (0) + \int_{0}^{T} \int_{Ω} | f (x, t) |^{2} d x d t) . \end{aligned}

我们得到解的 $L^{2}$ 估计： $0 ⩽ t ⩽ T$ 时，

\int_{Ω} | u (x, t) |^{2} d x \leq C_{T} (\int_{Ω} φ (x)^{2} d x + \frac{1}{2} \int_{Ω} (| ψ |^{2} + | \nabla φ |^{2}) d x + \frac{1}{2} \int_{0}^{T} \int_{Ω} | f (x, t) |^{2} d x d t) .

能量估计的应用

波方程古典解的唯一性

对同一个波方程，若其有二解 $u_{1}, u_{2}$ ，则 $u = u_{1} - u_{2}$ ，则 $u$ 满足方程

{\begin{cases} L u = 0 \\ u |_{t = 0} = u_{t} |_{t = 0} = 0 \\ u |_{\partial Ω} = 0 \end{cases}

其能量不等式为

\frac{1}{2} \int_{Ω} (u_{t}^{2} + | \nabla u |^{2}) d x \leq 0

故 $u_{t} = | \nabla u | = 0$ ， $u$ 为常数．再由 $L^{2}$ 估计

\int_{Ω} | u |^{2} d x \leq 0

故该方程只有零解，这就说明了初边值问题波方程古典解的唯一性．

能量

引入：紧支解的一个守恒量

能量函数

估计的重要引理：Gronwall 不等式

第一类边值条件的能量估计

能量不等式

解的 L2 估计

能量估计的应用

波方程古典解的唯一性

解的 $L^{2}$ 估计