Green函数

工具：Green 公式与第二 Green 公式

由分部积分的微分形式

\begin{aligned} \int_{Ω} u Δ v d x & = \int_{Ω} (\nabla \cdot (u \nabla v) - \nabla u \nabla v) d x \\ = \int_{Ω} \nabla \cdot (u \nabla v) d x - \int_{Ω} \nabla u \nabla v d x \\ \overset{散度定理}{=} \int_{\partial Ω} u \nabla v \cdot d \vec{S} (x) - \int_{Ω} \nabla u \nabla v d x . \end{aligned}

以上公式称为 Green 公式．同理有

\int_{Ω} v Δ u d x = \int_{\partial Ω} v \nabla u \cdot d \vec{S} (x) - \int_{Ω} \nabla u \nabla v d x .

二式作差得

\int_{Ω} (u Δ v - v Δ u) d x = \int_{\partial Ω} (u \nabla v - v \nabla u) \cdot d \vec{S} (x) = \int_{\partial Ω} (u \frac{\partial v}{\partial ν} - v \frac{\partial v}{\partial ν}) d S

称为第二 Green 公式．

三维 Laplace 方程的半完全解

u (x_{0}) = \frac{1}{4 π} \int_{\partial Ω} (\frac{1}{| x - x_{0} |} \frac{\partial u}{\partial ν} - \frac{\partial}{\partial ν} \frac{1}{| x - x_{0} |} u) d S_{x}

是三维 Laplace 方程的一个解．

证明

我们只需证 $u (0) = \int_{\partial Ω} (u \frac{\partial Γ}{\partial ν} - Γ \frac{\partial u}{\partial ν}) d u$ .
取 $Ω^{'} = Ω ∖ B_{ε} (0)$ ． $Γ = - \frac{1}{4 π | x - x_{0} |}$ 是基本解，由基本解的性质

\int_{Ω^{'}} (u Δ Γ - Γ Δ u) d x = 0.

由 Green 第二公式

\begin{aligned} 0 & = \int_{Ω^{'}} (u Δ Γ - Γ Δ u) d x \\ = \int_{\partial Ω} (u \frac{\partial Γ}{\partial ν} - Γ \frac{\partial u}{\partial ν}) d S_{x} - \int_{\partial B_{ε} (0)} (u \frac{\partial Γ}{\partial ν} - Γ \frac{\partial u}{\partial ν}) d S_{x} \\ = \int_{\partial Ω} (u \frac{\partial Γ}{\partial ν} - Γ \frac{\partial u}{\partial ν}) d S_{x} - \int_{\partial B_{ε} (0)} u \frac{\partial Γ}{\partial ν} d x - \int_{\partial B_{ε} (0)} Γ \frac{\partial u}{\partial ν} d S_{x} \end{aligned}

第二个积分式

\int_{\partial B_{ε} (0)} u \frac{1}{4 π | x |^{2}} d S_{x} = \frac{1}{4 π ε^{2}} \int_{\partial B_{ε} (0)} u d S_{x} \overset{平均值性质}{=} u (0)

第三个积分式

\int_{\partial B_{ε} (0)} Γ \frac{\partial u}{\partial ν} d S_{x} = Γ (ε) \int_{\partial B_{ε} (0)} \nabla u \cdot d {\vec{S}}_{x} \overset{散度定理}{=} Γ (ε) \int_{B_{ε} (0)} Δ u d x = 0

即证．

Green 函数

引入

由于上面的解的表达式仍然需要同时使用两种边值，这是不好的——我们会希望一种边值即可．为此，我们引入新的函数来化简表达式．

设 $g$ 是 $Ω$ 中的一个调和函数，且 $g |_{\partial Ω} = \frac{1}{4 π | x - x_{0} |}$ ，若对 $u, g$ 使用第二 Green 公式，得

0 = \int_{\partial Ω} (u \frac{\partial g}{\partial n} - g \frac{\partial u}{\partial n}) d S .

与上面的表达式相加得

\begin{aligned} u (x_{0}) & = \int_{\partial Ω} (u \frac{\partial}{\partial n} (g - \frac{1}{4 π | x - x_{0} |}) - (g - \frac{1}{4 π | x - x_{0} |}) \frac{\partial u}{\partial n}) d S \\ = \int_{\partial Ω} u \frac{\partial}{\partial n} (g - \frac{1}{4 π | x - x_{0} |}) d x \end{aligned}

这就把初速度的边值项消掉了．进一步，令

G (x, x_{0}) = g (x) - \frac{1}{4 π | x - x_{0} |}

上式就变为

u (x_{0}) = \int_{\partial Ω} φ (x) \frac{\partial G}{\partial n} (x, x_{0}) d S_{x} .

因此，我们的目标转为求出这样的 $G$ ，即：

定义：Green 函数

Green 函数

定义 $Ω$ 上算子 $- Δ$ 的 Green 函 $G (x, x_{0})$ 满足以下三个条件：

$G$ 在 $Ω$ 上除 $x_{0}$ 外二阶连续可微；
对任意 $x \in \partial G$ ， $G (x) = 0$ ；
$- G (x, x_{0}) + Γ (| x - x_{0} |)$ 在 $x_{0}$ 有限，且处处连续可微且调和．

用 Green 函数表示 Laplace 方程的解

若区域 $Ω$ 的 Green 函数已知，则

u (x_{0}) = \int_{\partial Ω} φ (x) \frac{\partial G}{\partial n} (x, x_{0}) d S_{x}

是 Laplace 方程 $Δ u = 0$ 的一个解．

性质：对称性

G (a, b) = G (b, a) .

常见的 Green 函数构造：电像法

半空间

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\draw (-3,0) -- (3,0);
\fill[gray,opacity=.1] (-3,3) rectangle (3,0);
\fill[black] (0,2) circle (0.05) node[above] {$+$} node[below] {$x_0$};
\fill[black] (0,-2) circle (0.05) node[below] {$-$} node[above] {$x^*$};
\draw[dashed] (0,-2) -- (0,2);
\end{tikzpicture}
\end{document}

G (x, x_{0}) = Γ (| x - x_{0} |) - Γ (| x - x^{*} |) .

圆盘与球

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\fill[gray,opacity=.1] (0,0) circle (3);
\fill[black] (0,0) circle (.05) node[below] {$O$};
\fill[black] (60:1.5) circle (.05) node[above] {$+$} node[below] {$x_0$};
\fill[black] (60:6) circle (.05) node[above] {$-$} node[below] {$x^*$};
\draw[dashed]  (0,0) -- (60:1.5) -- (60:6) -- (3,0) -- (60:1.5) (3,0) -- (0,0);
\draw[xshift=3cm,yshift=0] (-.4,0) -- (-.4,.4) -- (0,.4);
\draw[shift={(60:1.5)},rotate=60,xscale=-1,yscale=-1] (-.4,0) -- (-.4,.4) -- (0,.4);
\end{tikzpicture}
\end{document}

由反演变换， $x^{*} = \frac{R^{2}}{| x_{0} |^{2}} x_{0}$ ．设

G (x) = Γ (| x - x_{0} |) - Γ (C | x - x^{*} |),

任意代入一个边界上的点，例如 $\frac{R}{| x_{0} |} x_{0}$ ，解得 $C = \frac{| x_{0} |}{R}$ ．

用 Green 函数表示位势方程的解

考虑位势方程

{\begin{cases} - Δ u = f & in U \\ u = φ & on \partial U \end{cases}

设 $G$ 为区域 $U$ 的一个 Green 函数，结合上面所说及基本解卷积非齐次项为自由Poisson方程的解，则

u (x) = - \int_{\partial U} φ (y) \frac{\partial G}{\partial ν} (x, y) d S_{y} + \int_{U} f (y) G (x, y) d y

是方程的一个解．

Poisson 公式

Poisson 核与 Poisson 公式

Poisson 核

设 $G$ 为区域 $Ω$ 的一个 Green 函数，则

K (x, y) = \frac{\partial G}{\partial ν} = \nabla G \cdot ν

称为 $Ω$ 的 Poisson 核．

由此，我们有 Poisson 公式：

Poisson 公式

区域 $Ω$ 上 Laplace 方程的一个解是

u (x) = \int_{\partial U} K (x, y) φ (y) d S_{y} .

三维球上的 Poisson 公式

考虑单位球上的 Green 函数

\begin{aligned} G (x, x_{0}) & = Γ (x - x_{0}) - Γ (| x_{0} | (x - x^{*})) \end{aligned}

则

G_{i} (x, x_{0}) = Γ_{i} (x - x_{0}) - \partial_{i} Γ (| x_{0} | (x - x^{*}))

而

Γ_{i} (x - x_{0}) = \frac{x_{i} - x_{0 i}}{4 π | x - x_{0} |^{3}}

\partial_{i} Γ (| x_{0} | (x - x^{*})) = - \frac{x_{i} | x_{0} |^{2} - x_{0 i}}{4 π | x_{0} |^{3} | x - x^{*} |^{3}} = - \frac{x_{i} | x_{0} |^{2} - x_{0 i}}{4 π | x - x_{0} |^{3}} .

因此对 $x \in \partial B_{1} (0)$ ，

\begin{aligned} K (x, x_{0}) & = \nabla G \cdot r \\ = - \frac{1}{4 π | x - x_{0} |^{3}} \sum_{i = 1}^{3} x_{i} ((x_{i} - x_{0 i}) - x_{i} | x_{0} |^{2} + x_{0 i}) \\ = - \frac{1 - | x_{0} |^{2}}{4 π | x - x_{0} |^{3}} . \end{aligned}

从而由 Poisson 公式

u (x_{0}) = \frac{1 - | x_{0} |^{2}}{4 π} \int_{\partial B_{1} (0)} \frac{φ (x)}{| x - x_{0} |^{3}} d S_{x} .

作变换得到 $B_{R} (0)$ 上的 Poisson 公式

u (x_{0}) = \frac{R^{2} - | x_{0} |^{2}}{4 π R} \int_{\partial B_{R} (0)} \frac{φ (x)}{| x - x_{0} |^{3}} d S_{x} .

球上的 Harnack 不等式

设 $u$ 在 $B_{R} (x_{0})$ 调和且非负，则

\frac{R}{R + r} \frac{R - r}{R + r} u (x_{0}) \leq u (x) \leq \frac{R}{R - r} \frac{R + r}{R - r} u (x_{0}) .

这里 $r = | x - x_{0} | < R$ .

证明

不妨设 $x_{0} = 0$ ，由 Poisson 公式

u (x) = \frac{R^{2} - r^{2}}{4 π R} \int_{\partial B_{R} (0)} \frac{φ (y)}{| y - x |^{3}} d S_{y}

u (0) = \frac{R}{4 π} \int_{\partial B_{R} (0)} \frac{φ (y)}{| y |^{3}} d S_{y} = \frac{1}{4 π R^{2}} \int_{\partial B_{R} (0)} φ (y) d S_{y} .

由三角不等式， $R - r \leq | y - x | \leq R + r$ ，代入得

u (x) \geq \frac{R - r}{4 π R (R + r)^{2}} \int_{\partial B_{R} (0)} φ (y) d S_{y} = \frac{R (R - r)}{(R + r)^{2}} u (0) .

u (x) \leq \frac{R + r}{4 π (R - r)^{2}} \int_{\partial B_{R} (0)} φ (y) d S_{y} = \frac{R (R + r)}{(R - r)^{2}} u (0) .

与另一个 Harnack 不等式的联系

另一个 Harnack 不等式是： $V$ 为 $Ω$ 内有界紧集，则存在一个只与 $diam V$ 和维数有关的常数 $C > 1$ ，使得对其中任意 $x, y$ 有

\frac{1}{C} u (x) \leq u (y) \leq C u (x) .

我们说明，当 $Ω$ 是开球时，可以用本节提到的 Harnack 不等式推出该不等式，从而本节提到的不等式更强．

由于 $Ω$ 是开球，因此可以找到一个闭球 $B_{r} (0) \subset Ω$ 包住 $V$ ．因此对任意 $x \in V$ ，都有 $| x | \leq r$ ，从而由单调性得

\frac{R (R - r)}{(R + r)^{2}} \leq \frac{u (x)}{u (0)} \leq \frac{R (R + r)}{(R - r)^{2}} .

因此对任意 $x, y \in V$ ，我们有

u (x) \leq \frac{R (R + r)}{(R - r)^{2}} u (0) = \frac{(R + r)^{3}}{(R - r)^{3}} \cdot \frac{R (R - r)}{(R + r)^{2}} u (0) \leq \frac{(R + r)^{3}}{(R - r)^{3}} u (y)

u (x) \geq \frac{R (R - r)}{(R + r)^{2}} u (0) = \frac{(R - r)^{3}}{(R + r)^{3}} \cdot \frac{R (R + r)}{(R - r)^{2}} u (0) \geq \frac{(R - r)^{3}}{(R + r)^{3}} u (y)

因此 $C = \frac{(R + r)^{3}}{(R - r)^{3}}$ 满足要求．

技巧：内估计

一种技巧是：对 $B_{R} (0)$ ，用 $B_{R / 2} (0)$ 上的 Harnack 不等式进行估计，得到范围内解的性态．这一手段称为内估计．