位势方程的最大模估计

位势方程的 Dirichlet 问题

{\begin{cases} - Δ u = f, & x \in Ω, \\ u |_{\partial Ω} = φ \end{cases}

有最大模估计：

定理：Dirichlet 边值问题的最大模估计

设 $u$ 是 Dirichlet 问题的解，则

max_{Ω} | u (x) | \leq G + C F

这里 $C = C (n, diam Ω)$ 为常数， $G = max_{\partial Ω} | φ |$ ， $F = sup_{Ω} | f |$ ．

不妨假设 $Ω$ 包含原点．令 $w = u - z$ ，其中

z = G + \frac{F}{2 n} (d^{2} - | x |^{2})

则

- Δ ω = f (x) - F \leq 0, \in Ω

ω |_{\partial Ω} \leq g - G \leq 0.

由极值原理， $Ω$ 上 $w \leq 0$ . 从而

u \leq z \leq G + \frac{d^{2}}{2 n} F .

同理对 $- u$ 有

u \geq - z \geq - G - \frac{d^{2}}{2 n} F

从而

| u | \leq z \leq G + \frac{d^{2}}{2 n} F .

两边取上确界，定理即得证．